به نام خدا
در ریاضیات $0.\overline{9}$ یا $0.999...$، یک عدد اعشاری متناوب ساده و متشکل از تعداد بینهایت $9$ بعد از ممیز را نشان میدهد. این عدد برابر با عدد $1$ است. شیوههای متنوعی برای اثبات این برابری با درجات مختلفی از دقت ریاضی وجود دارد. هر عدد اعشاری مختوم غیر صفر، با یک عدد اعشاری متناوب دوقلوی خود برابر است که میتوان آن را با بینهایت ۹ نشان داد (برای مثال $8.32$ با $8.31 \overline{9} $ یا $8.31999...$ برابر است).
اثبات جبری:
اثبات جبری، برای نشان دادن تساوی $0.999...$ و $1$، از مفاهیمی مانند کسر، تقسیم زیرهم و دستکاری عددی استفاده میکند تا تغییراتی ایجاد کند که تساوی $0.999...$ و $1$ دستنخورده باقی بماند. در اینجا میتوانید دو اثبات برای این مطلب را ببینید:
$$ \frac{1}{9}=0.111... \Rightarrow 9 \cdot \frac{1}{9}=9 \cdot0.111... \Rightarrow 1=0.999...$$
$$x=0.999... \Rightarrow 10x=9.999... \Rightarrow 10x=9+0.999... \Rightarrow 10x=9+x \Rightarrow 10x-x=9 \Rightarrow 9x=9 \Rightarrow x=1 \Longrightarrow 1=0.999...$$
منبع: wikipedia - $0.999...$
