Question

سلام چرا $ 0/9999...$ یا همون $ 0/ \overline{9} $ کسر مولدش برابر $1$ میشود. مگه میشه $1$ مساوی $ 0/ \overline{9} $ باشه این غلط نیست؟

ممنون میشم توضیحاتی بدید قانع شم چون روشی که منجر به این میشه که $1$ مساوی $ 0/ \overline{9} $ باشه مگه روش درستی نیست ممنون میشم دقیق وجامع علتها ودلایل رو بفرمایید.

سلام چرا $ 0/9999...$ یا همون $ 0/ \overline{9} $کسر مولدش برابر $1$میشود.

Comments

توجه کنین که این عدد کسر مولد ندارد. زیرا یک کسر نیست.

Answer 1

$$\begin{align}0. \overline{9} =0.999...&=\frac 9{10}+\frac 9{100}+\frac 9{1000}+...\\&=\frac 9{10}+\frac 9{10^2}+\frac 9{10^3}+...\end{align}$$ که این هم مجموع نامتناهی جملات یک دنباله هندسی با جمله اول $a=\frac 9{10}$ و قدرنسبت $q=\frac 1{10}$ است. و چنین مجموع هایی برابر است با $\frac a{1-q}=\frac{\frac 9{10}}{1-\frac 1{10}}=\frac{\frac 9{10}}{\frac 9{10}}=1$

Answer 2

$$0.\overline9=\lim_{n \to \infty} 0.99.....9 = \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n \frac{9}{10^k}=\lim_{n \to \infty} 1-\frac{1}{10^n}=1-\lim_{n \to \infty} \frac{1}{10^n}=1$$

Answer 3

معلومه دیگه یک رو تقسیم بر سه کن بعد طرفین رو در سه ضرب کن.تو مجله برهان فکرکنم چندتا اثبات براش ذکر شده بود قبلا.

Answer 4

فاصله $1$ با $0.9$ برابر است با $0.1$

فاصله $1$ با $0.99$ برابر است با $0.01$

$ \vdots $

فاصله $1$ با $0. \underbrace{9...9} _{n} $ برابر است با $0. \underbrace{0...0} _{n-1}1$

وقتی بینهایت $9$ داریم اصلا فاصله ای بین دو عدد وجود ندارد در واقع دو عدد یکی خواهند بود نه فقط برای این عدد بلکه برای تمام اعداد اعشاری مختوم غیر صفر، با یک عدد اعشاری متناوب دوقلوی خود برابر است که می‌توان آن را با بی‌نهایت $۹$ نشان داد مثلا $1.23=1.22 \overline{9} $

در واقع از لحاظ ریاض به کمک آنالیز می توان ثابت کرد به ازای هر عدد مثبت(هرچقدر کوچک) فاصله ی 1 با $0.\overline{9}$ از آن هم کمتر است و این یعنی باید این فاصله صفر باشد(وگرنه طبق خاصیت ارشمیدسی اعداد فاصله ی این از عددی مثبت بزرگتر خواهد بود) یعنی $1-0.\overline{9}=0$ پس $1=0.\overline{9}$ اثبات های زیادی هم برای این موضوع وجود دارد از جمله اینکه از$ \frac{1}{9} =0111111$ و ضرب طرفین در $9$ استفاده کنیم.

برای اطلاع از اثبات های مختلف و اطلاعات بیشتر می تونید به صفحه مربوطه در ویکی پدیا مراجعه کنید.

Answer 5

$$0/ \overline{9} \times 10=9/ \overline{9} $$ $$0/ \overline{9} \times (9+1)=9/ \overline{9} $$ $$0/ \overline{9} (9)+0/ \overline{9} \times( 1)=9/ \overline{9} $$ $$0/ \overline{9} (9)=9/ \overline{9}-0/ \overline{9} $$ $$0/ \overline{9} (9)=9$$ $$0/ \overline{9} = \frac{9}{9} $$ $$0/ \overline{9} = 1 $$

Answer 6

$\frac{1}{3} = 0.\bar{3}$

$3\times \left( \frac{1}{3} \right) = \left( 0.\bar{3} \right) \times 3$

$\frac{3}{3} = 0.\bar{9}$

.

Answer 7

با سلام .

در پاسخ اول راه حل تستی را مطرح کردم .

هم اکنون به طور تشریحی از طریق حل معادله ثابت میکنیم . پس $ 0/ \bar{9} $ را $ \chi $ در نظر میگیریم. داریم :

$$ \chi =0/ \bar{9} $$ $$10 \chi =9/ \bar{9} $$ $$10 \chi - \chi =9/ \bar{9} - 0/ \bar{9} $$ سپس عدد بدست امده را بر ضریب مجهول تقسیم میکنیم تا$ \chi $ مان بدست اید .

$$9 \chi =9$$

و در آخر :

$$ \chi = \frac{9}{9} = 1 $$

موفق باشید .

Answer 8

با سلام .

همانطور که میدانید چون بلا فاصله بعد از صفر دوره گردش شروع به تکرار میشود ، کسر مولّد آن متناوب ساده است.

از طرفی در فرمول کسر های متناوب ساده داریم :

$$\frac{\text{ عدد بدون ممیز }-\text{ ارقام عدد غیر گردش } }{\text{ به ازای تعداد ارقام دوره گردش عدد ۹ }}$$

البته این موضوع $ 0/ \bar{9} = 1 $ یک قرارداد محسوب میشود که در بسیاری از کار ها از جمله کد نویسی استفاده میشود

و در اخر پس از جایگزینی داریم :

$$ \frac{9}{9}= 1 $$

این موضوع را به اعدادی نظیر $3/ \bar{9} $ و $5/ \bar{9} $ نیز میتوان تعمیم داد . یعنی :

$$3/ \bar{9}=4 $$ $$5/ \bar{9}=6 $$

موفق باشید .

Comments

@(Mahdi( Help^AnAr من متوجه فرمولی که دادید نمی‌شوم، دقیقا منظورتان از دو عبارت داخل صورت کسر چیست؟ منظورتان از عدد بدون ممیز بعنی هر چه پس از ممیز است را بگذاریم کنار که در مورد مثال خودتان می‌شود صفر یا اینکه فقط ممیز را برداریم که می‌شود ۹۹۹۹۹۹۹.... که بی معناست چون عددی بزرگ و بی‌انتها می‌شود. ارقام عدد بدون گردش یعنی چه یعنی تا جایی که گردش نداریم؟ در مثال شما دوباره می‌شود صفر. یعنی صورت کسر صفر منهای صفر می‌شود؟ پس چگونه در چند خط بعد نوشته‌اید ۹؟ فرمول‌تان نیاز به توضیح دارد.

Answer 9

صفر ممیز دوره گردش ۹ رو از عدد ۱ کم کن؛ برای اینکه جواب به دست بیاد باید از یک قرض بگیریم و در مرتبه دهم، به جای صفر، ۱۰ قرار دهیم؛ اکنون برای مرتبه صدگان نیز باید همین عمل را انجام دهیم؛ این روند برای همیشه ادامه خواهد یافت؛ و در جواب ما بی‌نهایت صفر خواهیم داشت که هیچگاه تمام نمی‌شوند؛ پس حاصل این عبارت برابر صفر است. که این یعنی این دو عبارت با هم برابر هستند.