ضابطهٔ تابعی را بیابید که مساحت زیر نمودار آن برای $x$ از صفر تا $x_0$ برابر یک سوم مساحت مستطیل با دو گوشهٔ $(0,0)$ و $(x_0,f(x_0))$ شود.

Question

یک منحنی از مبدا در صفحهٔ $x\circ y$ شروع می‌شود و در ربع اول صفحهٔ مختصات گسترش می‌یابد. مساحت سطح زیر منحنی از نقطه $(0,0)$ تا نقطهٔ$(x,y)$ یک سوم مساحت مستطیلی است که دو نقطهٔ یادشده دو راس متقابل آن هستند. معادلهٔ منحنی را بیابید.

Comments

@Monire_cheri عنوان مناسب برای پرسش‌هایتان بگذارید، می‌توانید پست زیر را بخوانید تا شرایط یک عنوان مناسب را متوجه شوید. با گذاشتن عنوان مناسب احتمال پاسخ‌گیری سریع‌تر پرسش‌تان را نیز افزایش می‌دهید. https://math.irancircle.com/11973 برای نمونه نگاه کنید که من برایتان عنوان پرسش را به چه چیزی تغییر داده‌ام.

Answer 1

بیایید داده‌های پرسش را بنویسیم. ضابطهٔ منحنی‌تان را $y=f(x)$ در نظر بگیرید. مساحت زیر نمودار آن برای طول‌های از صفر تا $x$ که $x$ هر مقدار دلخواهی می‌تواند باشد با انتگرال زیر بدست می‌آید.

$$\int ydx$$

مساحت مستطیلی که نقطه‌های $(0,0)$ و $(x,y)$ دو گوشهٔ روبرویش (بر روی یک قطر) هستند برابر است با $xy$. پس پرسش می‌گوید که

$$\int_0^xydx=\frac{1}{3}xy$$

اکنون از دو طرف مشتق بگیرید و عملیات‌های زیر که باید برایتان روشن باشد که چه هستند (با توجه به اینکه از برچسب‌ها مشخص است درس‌های ریاضی عمومی و معادلات‌دیفرانسیل داشته‌اید) را انجام دهید.

$$\begin{array}{l} \begin{array}{ll} y=\frac{1}{3}(y+xy') &\Longrightarrow \frac{2}{3}y=\frac{1}{3}xy'\\ &\Longrightarrow 2y=xy'\\ &\Longrightarrow \frac{2}{x}=\frac{y'}{y}\\ &\Longrightarrow 2\ln x=\ln y+c\\ &\Longrightarrow \ln y=2\ln x-c\\ &\Longrightarrow y=cx^2 \end{array}\\ \therefore f(x)=cx^2,\;c\in\mathbb{R} \end{array}$$