توجه کنید که با داشتن مرکز یک چندضلعی منتظم، شعاع دایرهٔ محیطیاش (دایرهای که از گوشههایش میگذرد) و تعداد یالها (یا گوشهها)ی این چندضلعی میتوان آن را به طور یکتا روی صفحهٔ مختصات رسم کرد. بدون کاستن از کلیت با یک انتقالِ صفحهٔ مختصات و یک دوران صفحه پیرامون مبدأ مختصات، میتوان فرض کرد که مرکز پنجیالیِ نظمدار (پنجضلعی منظم) سمت چپ شما بر روی مبدأ مختصات و گوشهای از آن که با پنجبالی سمت راست شکل شما مشترک است روی محور $x$ها قرار دارد. این شکل هندسی با داشتن ۳ عدد به طور یکتا تعیین میشود؛ $r$، $r'$، $\theta$ که به ترتیب شعاع دایرههای پنجیالیِ سمت چپ، شعاع دایرهٔ پنجیالیِ سمت راست، و زاویهٔ نمایش دادهشده در شکل زیر است. مرکزهای دایرههای پنجیالیها با $O$ و گوشههایشان با $A_i$ نامگذاری شدهاند. نامهای دایرهٔ سمت راست دارای پرایم prime یعنی $'$ هستند. برای دایرهٔ سمت چپ اندیسهای گوشهها به صورت پادساعتگرد و برای پنجیالی سمت چپ ساعتگرد شمارهگذاری شدهاند. که داریم $A_5=A'_5$.
پس $\theta$ زاویهٔ بین پارهخط $A_5O'$ و قسمت مثبت محور $x$ها در جهت پادساعتگرد است. $\alpha$ برابر است با $\frac{2\pi}{5}$. برابریهای زیر را به طور بدیهی از شکل میتوان دید:
$$
\begin{array}{l}
A_4=O+(r\cos(-2\alpha),r\sin(-2\alpha))\\
A_3=O+(r\cos(2\alpha),r\sin(2\alpha))\\
O'=O+(r,0)+(r'\cos(\theta),r'\sin(\theta))\\
A_3'=O'+(r'\cos(\theta+\frac{\alpha}{2}),r'\sin(\theta+\frac{\alpha}{2}))\\
A_4'=O'+(r'\cos(\theta-\frac{\alpha}{2}),r'\sin(\theta-\frac{\alpha}{2}))
\end{array}
$$
اگر مقدار زاویهٔ بین تند (کوچکتر از ۹۰ درجه) سمت راست بین دو پارهخط $A_3A_4'$ و $A_4A_3'$ را $\gamma$ بگیریم، آنگاه داریم:
$$\begin{array}{l}
\gamma=|\arctan(m_{A_4A_3'})-\arctan(m_{A_3A_4'})|\\
m_{A_3A_4'}=\frac{y_{A_3'}-y_{A_4}}{x_{A_3'}-x_{A_4}}\\
m_{A_4A_3'}=\frac{y_{A_4'}-y_{A_3}}{x_{A_4'}-x_{A_3}}
\end{array}$$
اکنون با داشتن سه عدد $r,r',\theta$ میتوانید با کمک فرمولهای بالا به طور یکتا مقدار زاویهٔ خواستهشدهتان را که $\pi-\gamma$ است را بیابید. برای نمونه در شکل زیر داریم $r=2,r'=10,\theta=\frac{\pi}{4}$.
که محاسبات به شما میدهد $\gamma=36^\circ$ و در نتیجه زاویهٔ خواستهشدهتان $144^\circ$ است. اکنون این بحث پیش میآید که آیا برای هر سهتایی $(r,r\,\theta)$ آیا مقدار زاویهٔ خواستهشدهتان یک عدد ثابت میشود؟ من در این رابطه فکر نکردم، میتوانید تلاش کنید با کمک هندسهٔ دبیرستانی یا با استفاده از فرمولها این مطلب را ثابت کنید یا اینکه سهتاییای بیابید که مقدار زاویه عددی غیر از ۱۴۴ بدهد.
دستورهای نوشتهشده در نرمافزار Mathematica برای رسم شکل پیشین و انجام محاسبات در زیر آوردهشدهاند.
p0=ListPlot[{0,0}];
rp1=RegularPolygon[{1,1},{2,0},5];
rp2=RegularPolygon[{13,1},{10,Pi},5];
p1=Graphics[{EdgeForm[Directive[Thick,Dashed,Blue]],White,rp1}];
p2=Graphics[{Rotate[{EdgeForm[Directive[Thick,Dashed,Blue]],White,rp2},Pi/3,{3,1}]}];
Show[p0,p1,p2,PlotRange->{{-2,20},{-1,20}},AspectRatio->21/22]
o={0,0};
\[Alpha]=2*Pi/5;
a4=o+{ r*Cos[-2*\[Alpha]],r*Sin[-2*\[Alpha]]};
a3=o+{ r*Cos[2*\[Alpha]],r*Sin[2*\[Alpha]]};
oo=o+{r,0}+{rr*Cos[\[Theta]],rr*Sin[\[Theta]]};
aa3=oo+{rr*Cos[\[Theta]+\[Alpha]/2],rr*Sin[\[Theta]+\[Alpha]/2]};
aa4=oo+{rr*Cos[\[Theta]-\[Alpha]/2],rr*Sin[\[Theta]-\[Alpha]/2]};
m43=(aa3[[2]]-a4[[2]])/(aa3[[1]]-a4[[1]]);
m34=(aa4[[2]]-a3[[2]])/(aa4[[1]]-a3[[1]]);
\[Gamma]=Abs[ArcTan[m43]-ArcTan[m34]];
ReplaceAll[{r->2,rr->10,\[Theta]->Pi/3}][\[Gamma]]
N[%]
(%/(2*Pi))*360
180-%
