به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
157 بازدید
در دبیرستان توسط badansaz (24 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

دو پنج‌ضلعی منتظم در یک گوشه با یکدیگر مشترک هستند. گوشهٔ سوم در جهت پادساعتگر از سمت چپ را به گوشهٔ دوم در جهت ساعتگرد از سمت راست وصل می‌کنیم. همین کار را برای گوشهٔ دوم چپ و گوشهٔ سوم راست انجام می‌دهیم. زاویهٔ منفجره (بزرگتر از ۹۰ درجه) ایجادشده بین این دو پاره‌خط چقدر است؟

توضیحات تصویر

توسط AmirHosein (10,905 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
@badansaz متن پرسش را تایپ کنید. عنوان پرسش نیز نامناسب است!
متن و عنوان پیشین‌تان را با ویرایش جدیدی که انجام دادم مقایسه کنید.

2 پاسخ

+3 امتیاز
توسط AmirHosein (10,905 امتیاز)

توجه کنید که با داشتن مرکز یک چندضلعی منتظم، شعاع دایرهٔ محیطی‌اش (دایره‌ای که از گوشه‌هایش می‌گذرد) و تعداد یال‌ها (یا گوشه‌ها)ی این چندضلعی می‌توان آن را به طور یکتا روی صفحهٔ مختصات رسم کرد. بدون کاستن از کلیت با یک انتقالِ صفحهٔ مختصات و یک دوران صفحه پیرامون مبدأ مختصات، می‌توان فرض کرد که مرکز پنج‌یالیِ نظم‌دار (پنج‌ضلعی منظم) سمت چپ شما بر روی مبدأ مختصات و گوشه‌ای از آن که با پنج‌بالی سمت راست شکل شما مشترک است روی محور $x$ها قرار دارد. این شکل هندسی با داشتن ۳ عدد به طور یکتا تعیین می‌شود؛ $r$، $r'$، $\theta$ که به ترتیب شعاع دایره‌های پنج‌یالیِ سمت چپ، شعاع دایرهٔ پنج‌یالیِ سمت راست، و زاویهٔ نمایش داده‌شده در شکل زیر است. مرکزهای دایره‌های پنج‌یالی‌ها با $O$ و گوشه‌هایشان با $A_i$ نامگذاری شده‌اند. نام‌های دایرهٔ سمت راست دارای پرایم prime یعنی $'$ هستند. برای دایرهٔ سمت چپ اندیس‌های گوشه‌ها به صورت پادساعتگرد و برای پنج‌یالی سمت چپ ساعتگرد شماره‌گذاری شده‌اند. که داریم $A_5=A'_5$.

توضیحات تصویر

پس $\theta$ زاویهٔ بین پاره‌خط $A_5O'$ و قسمت مثبت محور $x$ها در جهت پادساعتگرد است. $\alpha$ برابر است با $\frac{2\pi}{5}$. برابری‌های زیر را به طور بدیهی از شکل می‌توان دید:

$$ \begin{array}{l} A_4=O+(r\cos(-2\alpha),r\sin(-2\alpha))\\ A_3=O+(r\cos(2\alpha),r\sin(2\alpha))\\ O'=O+(r,0)+(r'\cos(\theta),r'\sin(\theta))\\ A_3'=O'+(r'\cos(\theta+\frac{\alpha}{2}),r'\sin(\theta+\frac{\alpha}{2}))\\ A_4'=O'+(r'\cos(\theta-\frac{\alpha}{2}),r'\sin(\theta-\frac{\alpha}{2})) \end{array} $$

اگر مقدار زاویهٔ بین تند (کوچکتر از ۹۰ درجه) سمت راست بین دو پاره‌خط $A_3A_4'$ و $A_4A_3'$ را $\gamma$ بگیریم، آنگاه داریم:

$$\begin{array}{l} \gamma=|\arctan(m_{A_4A_3'})-\arctan(m_{A_3A_4'})|\\ m_{A_3A_4'}=\frac{y_{A_3'}-y_{A_4}}{x_{A_3'}-x_{A_4}}\\ m_{A_4A_3'}=\frac{y_{A_4'}-y_{A_3}}{x_{A_4'}-x_{A_3}} \end{array}$$

اکنون با داشتن سه عدد $r,r',\theta$ می‌توانید با کمک فرمول‌های بالا به طور یکتا مقدار زاویهٔ خواسته‌شده‌تان را که $\pi-\gamma$ است را بیابید. برای نمونه در شکل زیر داریم $r=2,r'=10,\theta=\frac{\pi}{4}$.

توضیحات تصویر

که محاسبات به شما می‌دهد $\gamma=36^\circ$ و در نتیجه زاویهٔ خواسته‌شده‌تان $144^\circ$ است. اکنون این بحث پیش می‌آید که آیا برای هر سه‌تایی $(r,r\,\theta)$ آیا مقدار زاویهٔ خواسته‌شده‌تان یک عدد ثابت می‌شود؟ من در این رابطه فکر نکردم، می‌توانید تلاش کنید با کمک هندسهٔ دبیرستانی یا با استفاده از فرمول‌ها این مطلب را ثابت کنید یا اینکه سه‌تایی‌ای بیابید که مقدار زاویه عددی غیر از ۱۴۴ بدهد.

دستورهای نوشته‌شده در نرم‌افزار Mathematica برای رسم شکل پیشین و انجام محاسبات در زیر آورده‌شده‌اند.

p0=ListPlot[{0,0}];
rp1=RegularPolygon[{1,1},{2,0},5];
rp2=RegularPolygon[{13,1},{10,Pi},5];
p1=Graphics[{EdgeForm[Directive[Thick,Dashed,Blue]],White,rp1}];
p2=Graphics[{Rotate[{EdgeForm[Directive[Thick,Dashed,Blue]],White,rp2},Pi/3,{3,1}]}];
Show[p0,p1,p2,PlotRange->{{-2,20},{-1,20}},AspectRatio->21/22]
o={0,0};
\[Alpha]=2*Pi/5;
a4=o+{ r*Cos[-2*\[Alpha]],r*Sin[-2*\[Alpha]]};
a3=o+{ r*Cos[2*\[Alpha]],r*Sin[2*\[Alpha]]};
oo=o+{r,0}+{rr*Cos[\[Theta]],rr*Sin[\[Theta]]};
aa3=oo+{rr*Cos[\[Theta]+\[Alpha]/2],rr*Sin[\[Theta]+\[Alpha]/2]};
aa4=oo+{rr*Cos[\[Theta]-\[Alpha]/2],rr*Sin[\[Theta]-\[Alpha]/2]};
m43=(aa3[[2]]-a4[[2]])/(aa3[[1]]-a4[[1]]);
m34=(aa4[[2]]-a3[[2]])/(aa4[[1]]-a3[[1]]);
\[Gamma]=Abs[ArcTan[m43]-ArcTan[m34]];
ReplaceAll[{r->2,rr->10,\[Theta]->Pi/3}][\[Gamma]]
N[%]
(%/(2*Pi))*360
180-%
+2 امتیاز
توسط salar (694 امتیاز)

ابتدا یکی از $5$ ضلعی ها را دوران میدهیم تا $2$ ضلع آنها بر هم منطبق شوند

enter image description here

حال زاویه کوچک بین دو خط $HD$ و $CG$ برابر $36$ میباشد

و اگر دوباره یکی از آنها را دوران دهیم به همان اندازه که زاویه $ AGH$ کاهش میابد $AHG$ افزایش میابد و برعکس

درنتیجه $HAG$ همیشه برابر $HJG$ میباشد و آن هم برابر $36$ است

enter image description here

در نتیجه زاویه منفرجه $J$ به دلیل دوران به یک اندازه دو خط سبز همیشه برابر $144$ میباشد.

توسط AmirHosein (10,905 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
@salar از «و اگر دوباره ...» به بعد پاسخ‌تان شباهتی به اثبات ندارد، به این منظور که توضیحی ندارد و مانند پرش به حکم است.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...