به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
97 بازدید
در دبیرستان توسط Elyas1 (4,063 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

می‌دانیم $D$ و $E$ نقاطی روی $BC$ از مثلث $ABC$ هستند که $D$ بین $B$ و $E$ است. $O$ مرکز دایره محیطی مثلث $ABC$ بنامید. فرض کنید $AD=BD=6$ و $AE=EC=8$. $I$ را مرکز دایره محاطی مثلث $ADE$ بنامید. اگر $AI=5$ باشد، $OI$ چند است؟

تلاش انجام‌شده: می‌دانیم که$AE=CE$ است پس $E$ روی عمود منصف$AC$ است. همینطور$D$ روی عمود منصف$AB$ است. پس اگر عمود منصف $AB$ و $AC$ را رسم کنیم، همدیگر را در خارج از مثلث $ABC$ قطع می‌کنند. این نقطه تقاطع همان $O$ است.

مرجع: المپیاد ریاضی ترکیه، 2013، مرحله اول

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط amir7788 (2,577 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788
  • اولا مثلث ADE قائم الزاویه است توضیحات تصویر پس مرکز دایره محیطی وسط DE قرار دارد توضیحات تصویر

  • در مثلث داریم( ارتفاع وارد بر وتر $h_A $) $$cosD_1=0.6 \quad cosE_1=0.8\quad h_A=4.8 $$ با استفاده از قاعده کسینوس داریم $$AB^2 =2×6^2 +2×6 ^2 ×0.6 \rightarrow AB=6 \sqrt{3.2} $$ $$AC=8 \sqrt{3.6} $$

  • شعاع دایره محیطی مثلث ABC داریم $$R=OA= \frac{AB×AC×BC}{4S_{ABC} } $$ در نتیجه داریم

$$ R= \frac{48×0.6 \sqrt{32}×24 }{2×24×4.8} =12\sqrt{2} $$

توضیحات تصویر

  • از Oبر BCعمود می کنیم پای عمود H می نامیم توضیحات تصویر $$ OH^2 =R^2 - ( \frac{BC}{2} )^2 =144 \Rightarrow OH=12 $$ $$OI^2 =OH^2 +IH^2 =145 \Rightarrow OI= \sqrt{145} $$
توسط Elyas1 (4,063 امتیاز)
@amir7788 گویا یک اشتباهی شده است. در واقع $I$ مرکز دایره محاطی مثلث$ADE$ است که در عنوان درست نوشته شده ولی در پرسش نادرست نوشته شده است. عذر خواهی می کنم بابت اشتباه پیش آمده.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...