یک مثلث به همراه دو نقطه بر روی یک یالش و مرکزهای دایره های محیطی و محاطی اش را در نظر بگیرید. فاصلهٔ بین دو مرکز را به کمک فرض های مساله بیابید.

Question

می‌دانیم $D$ و $E$ نقاطی روی $BC$ از مثلث $ABC$ هستند که $D$ بین $B$ و $E$ است. $O$ مرکز دایره محیطی مثلث $ABC$ بنامید. فرض کنید $AD=BD=6$ و $AE=EC=8$. $I$ را مرکز دایره محاطی مثلث $ADE$ بنامید. اگر $AI=5$ باشد، $OI$ چند است؟

تلاش انجام‌شده: می‌دانیم که$AE=CE$ است پس $E$ روی عمود منصف$AC$ است. همینطور$D$ روی عمود منصف$AB$ است. پس اگر عمود منصف $AB$ و $AC$ را رسم کنیم، همدیگر را در خارج از مثلث $ABC$ قطع می‌کنند. این نقطه تقاطع همان $O$ است.

Answer 1

• اولا مثلث ADE قائم الزاویه است پس مرکز دایره محیطی وسط DE قرار دارد

• در مثلث داریم( ارتفاع وارد بر وتر $h_A$) $$cosD_1=0.6 \quad cosE_1=0.8\quad h_A=4.8$$ با استفاده از قاعده کسینوس داریم $$AB^2 =2×6^2 +2×6 ^2 ×0.6 \rightarrow AB=6 \sqrt{3.2}$$ $$AC=8 \sqrt{3.6}$$

• شعاع دایره محیطی مثلث ABC داریم $$R=OA= \frac{AB×AC×BC}{4S_{ABC} }$$ در نتیجه داریم

$$R= \frac{48×0.6 \sqrt{32}×24 }{2×24×4.8} =12\sqrt{2}$$

• از Oبر BCعمود می کنیم پای عمود H می نامیم $$OH^2 =R^2 - ( \frac{BC}{2} )^2 =144 \Rightarrow OH=12$$ $$OI^2 =OH^2 +IH^2 =145 \Rightarrow OI= \sqrt{145}$$

Comments

@amir7788 گویا یک اشتباهی شده است. در واقع $I$ مرکز دایره محاطی مثلث$ADE$ است که در عنوان درست نوشته شده ولی در پرسش نادرست نوشته شده است. عذر خواهی می کنم بابت اشتباه پیش آمده.