یک سیب را روی تخته ای به شکل پنج ضلعی منتظم گذاشته و با وصل کردن طناب به هر گوشه این پنج ضلعی آن را به سقف متصل کردیم. احتمال سقوط سیب چقدر است؟

Question

یک تخته چوبی به شکل پنج ضلعی منتظم داریم که از هر پنج گوشه‌اش با طناب از سقف آویزان شده است و موازی سطح زمین قرار دارد. یک سیب در مرکز این چندضلعی قرار داده‌ایم. یک تیرانداز به هر کدام از طناب‌ها یک بار شلیک می‌کند. اگر هر شلیک او به احتمال پنجاه درصد طناب را پاره کند احتمال اینکه سیب سقوط کند عددی به شکل $\frac{m}{n}$ است که $m$ و $n$ نسبت به هم اول هستند. در این صورت اختلاف $m$ و $n$ چند است؟ ( فرض کنید اگر تخته چوبی دیگر موازی سطح زمین نباشد سیب سقوط خواهد کرد.)

Answer 1

رأسهای پنج ضلعی را $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ بنامید.سیب زمانی می افتد که در دو شلیک پیاپی دو طناب مجاور پاره شوند(؟) یا سه شلیک موفق که طناب $a_i$ و $a_{i+2}$ یا ($a_{i+3}$) و هر طناب باقیمانده دیگر پاره شود.اگر فرض شود که تیر انداز طنابها را به ترتیب $a_5a_4a_1a_3a_2$ببیند پیشامد اول رخ می دهد اگر طنابهای $a_1a_2$ یا $a_1a_3$ یا $a_2a_4$ یا $a_4a_5$ یا $a_3a_5$ پاره شود. لذا این احتمال برابر است با:

$p=\frac{5}{ \binom{5}{2} }. \frac{1}{2}.\frac{1}{2} + \frac{5}{ \binom{5}{2} }. \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{ \binom{3}{1} } . \frac{1}{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{48}= \frac{6+1}{48}= \frac{7}{48} \Rightarrow 48-7=41$

$\Box$