تعریفِ $\varepsilon-\delta$ایِ $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$ را بنویسید؛
$$\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\text{ s.t. }|x-c|<\delta\Longrightarrow|f(x)-L|<\varepsilon$$
اینکه $|x-c|<\delta$ به چه معناست؟ یعنی $x\in(c-\delta,c+\delta)$. اگر یک عدد در این بازه باشد آنگاه تفاضلش از $c$ چه مقادیری میتواند باشد؟ این تفاضل را ب $h$ نشان دهید، $h$ تنها میتواند در بازهٔ $(-\delta,\delta)$ باشد و به ازای هر $h$ای از این بازه یک $x$ در بازهٔ قبلی هست که تفاضلش از $c$ برابر با آن شود. در نتیجه
$$\Big(x\in(c-\delta,c+\delta)\Big)\equiv \Big(x=c+h,\;h\in(-\delta,\delta)\Big)$$
پس در عبارت قبلی میتوان $x$ را با $c+h$ جایگزین کرد پس $f(x)$ میشود $f(c+h)$ و به جای شرطِ $x\in(c-\delta,c+\delta)$، شرطِ $h\in(-\delta,\delta)$ را قرار میدهیم که برابر با $h\in(0-\delta,0+\delta)$ پس $|h-0|<\delta$ است. داریم؛
$$\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\text{ s.t. }|h-0|<\delta\Longrightarrow|f(c+h)-L|<\varepsilon$$
که تعریفِ اپسیلون-دلتاییِ $\lim_{h\rightarrow 0}f(c+h)=L$ است. چون فقط از همارزی (نه نتایج یکطرفه) در مسیرمان استفاده کردیم پس نتیجهمان اگر و تنها اگر است. یعنی هر دو فرمول یک چیز را بیان میکنند.
