$ \lim_{x \rightarrow 0} f(x)= \lim_{x \rightarrow a} f(x-a)$

Question

اثبات کنید که:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} f(x)= \lim_{x \rightarrow a} f(x-a)$$

Answer 1

قرار دهید $t=x-a$ در اینصورت چنانچه $x\to a$آنگاه $t=x-a\to 0$ لذا $\lim_{x\to a}f(x-a)=\lim _{t\to 0}f(t)$

Answer 2

فرض کنید $lim_{x \rightarrow 0}\ f(x) =l$ پس : $$ \forall \epsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x:|x-0| < \delta \Rightarrow |f(x)-l| < \epsilon\ \ \ \ (\star) $$ حال تعریف کنید $g(x)= f(x-a)$ . فرض کنید $ \epsilon > 0$ و $|x-a| < \delta $ پس $|(x-a)-0| < \delta $. دراین صورت طبق $(\star)$ داریم $|f(x-a)-l| < \epsilon $ پس : $$|g(x)-l| < \epsilon $$ بنابراین $lim_{x \rightarrow a}\ g(x)=lim_{x \rightarrow a}\ f(x-a)=l$ .