بیایید ابتدا نگاهی به جملات ابتدایی این دنباله بیندازیم. دنبالهٔ اعداد غیرمربع کامل ($t_n$) از حذف اعداد مربع کامل ($1, 4, 9, 16, 25, \dots$) از مجموعهٔ اعداد طبیعی بهدست میآید. بیست جملهٔ اول این دنباله عبارتند از:
$$\{2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, \dots\}$$
همانطور که میبینید:
$$t_1 = 2$$
$$t_2 = 3$$
$$t_3 = 5$$
$$\vdots$$
$$t_{20} = 24$$
هدف ما این است که اثبات کنیم جملهٔ عمومی این دنباله از رابطهٔ زیر بهدست میآید:
$$t_n = \left\lfloor n + \sqrt{n} + \frac{1}{2} \right\rfloor$$
بدیهی است که هر عدد غیرمربع کامل $t_n$، دقیقاً بین دو مربع کامل متوالی قرار دارد. فرض کنیم $m$ عددی صحیح باشد که نشاندهندهٔ تعداد مربعهای کاملِ کوچکتر از $t_n$ است (یعنی $m = \lfloor \sqrt{t_n} \rfloor$). در این صورت $t_n$ در بازهٔ زیر قرار میگیرد:
$$m^2 < t_n < (m+1)^2$$
حالا بیایید به تمام اعداد طبیعی از $1$ تا خودِ $t_n$ نگاه کنیم:
$$\{1, 2, 3, \dots, t_n\}$$
تعداد کل اعضای این مجموعه برابر با $t_n$ است. این اعضا دقیقاً به دو گروه تقسیم میشوند:
۱. اعداد مربع کامل: که طبق فرض ما تعدادشان $m$ تا است ($1^2, 2^2, \dots, m^2$).
۲. اعداد غیرمربع کامل: که چون $t_n$، $n$-امین عدد غیرمربع است، تعدادشان دقیقاً $n$ تا است.
بنابراین، مقدار $t_n$ برابر است با جمع تعداد اعداد غیرمربع کامل ($n$) و تعداد مربعهایی که تا آنجا رد کردهایم ($m$):
$$t_n = n + m$$
این رابطه را در نامساوی اول جایگذاری میکنیم:
$$m^2 < t_n < (m+1)^2\implies m^2 < n + m < (m+1)^2$$
سمت راست نامساوی را بسط میدهیم:
$$m^2 < n + m < m^2 + 2m + 1$$
اکنون $m$ را از تمام بخشهای نامساوی کم میکنیم تا حدود $n$ مشخص شود:
$$m^2 - m < n < m^2 + m + 1$$
این نامساوی به ما میگوید $n$ اکیداً بین دو عدد صحیح قرار دارد. در مجموعهٔ اعداد صحیح، وقتی میگوییم عددی اکیداً بزرگتر از $A$ است، یعنی بزرگتر یا مساوی $A+1$ است. همچنین وقتی اکیداً کوچکتر از $B$ است، یعنی کوچکتر یا مساوی $B-1$ است. پس نامساوی بالا را به فرم بستهتر (شامل مساوی) مینویسیم:
$$\boxed{\mathbf{m^2 - m + 1 \le n \le m^2 + m}}$$
اکنون $n$ را با مربعِ اعدادِ به شکل $m \pm \frac{1}{2}$ مقایسه میکنیم.
مربعِ $(m - \frac{1}{2})$ را محاسبه میکنیم:
$$\left(m - \frac{1}{2}\right)^2 = m^2 - m + \frac{1}{4}$$
میدانیم که کمترین مقدار $n$ برابر است با $m^2 - m + 1$.
چون عدد $1$ از کسر $\frac{1}{4}$ بزرگتر است، پس قطعاً $n$ از آن عبارت مربعی بزرگتر است:
$$n > m^2 - m + \frac{1}{4} \implies n > \left(m - \frac{1}{2}\right)^2$$
با جذر گرفتن از طرفین:
$$\sqrt{n} > m - \frac{1}{2}$$
مربعِ $(m + \frac{1}{2})$ را محاسبه میکنیم:
$$\left(m + \frac{1}{2}\right)^2 = m^2 + m + \frac{1}{4}$$
میدانیم که بیشترین مقدار $n$ برابر است با $m^2 + m$.
چون عدد $0$ از کسر $\frac{1}{4}$ کوچکتر است، پس قطعاً $n$ از آن کوچکتر است:
$$n < m^2 + m + \frac{1}{4} \implies n < \left(m + \frac{1}{2}\right)^2$$
با جذر گرفتن از طرفین:
$$\sqrt{n} < m + \frac{1}{2}$$
ما $\sqrt{n}$ را در یک بازهٔ باریک گیر انداختیم:
$$m - \frac{1}{2} < \sqrt{n} < m + \frac{1}{2}$$
اکنون به تمام طرفین نامساوی، $\frac{1}{2}$ را اضافه میکنیم:
$$m < \sqrt{n} + \frac{1}{2} < m + 1$$
این رابطه میگوید که مقدار $\sqrt{n} + \frac{1}{2}$ عددی است که بین $m$ و $m+1$ قرار دارد. بنابراین، جزءصحیحِ آن دقیقاً برابر با $m$ است:
$$m = \left\lfloor \sqrt{n} + \frac{1}{2} \right\rfloor$$
حال که مقدار $m$ را بر حسب $n$ پیدا کردیم، آن را در رابطهٔ اصلی $t_n = n + m$ قرار میدهیم:
$$t_n = n + \left\lfloor \sqrt{n} + \frac{1}{2} \right\rfloor$$
طبق ویژگیهای جزءصحیح، عدد صحیح $n$ میتواند به داخل جزءصحیح منتقل شود ($\lfloor x \rfloor + k = \lfloor x + k \rfloor$):
$$\boxed{t_n = \left\lfloor n + \sqrt{n} + \frac{1}{2} \right\rfloor}$$
اثبات کامل شد. $\blacksquare$
