برای عدد مثبت $a$ معادله ی $x^2=a$ دارای دو جواب است یکی مثبت است و دیگری منفی. ما جواب مثبت را ریشه ی دوم $a$ گفته و با $\sqrt a$ نمایش می دهیم.
بنابراین چون $3^2=9$ و $(-3)^2=9$ پس $+3$ و $-3$ هر دو ریشه های دوم $9$ هستند ولی وقتی صحبت از رادیکال با فرجه دو میکنیم منظورمان ریشه ی دوم مثبت آن است یعنی $\sqrt 9=3$ .
توجه کنید که اگر $a$ منفی باشد دراینصورت $x^2=a$ جواب ندارد زیرا همواره $x^2\geq 0$ .
از طرف دیگر برای هر عدد حقیقی $a$ (باهرعلامتی) معادله $x^3=a$ دارای یک جواب منحصر به فرد است. همین جواب را ریشه ی سوم $a$ گفته و با $\sqrt[3]a$ نمایش می دهند.
و به همین ترتیب برای هر عدد حقیقی مثبت $a$ و
$n\geq 1$ معادله ی $x^n=a$ دارای یک و فقط یک جواب مثبت منحصر به فرد است. که آن را با $\sqrt[n]a$ یا $a^{\frac 1n}$ نمایش می دهیم.
فقط توجه کنید که وقتی $n$ فرد است لزومی ندارد $a$ حتما مثبت باشد. و برای هر $n$ داریم $\sqrt[n]0=0$ .
اینکه چرا رادیکال را برای فرجه های بزرگتر مساوی $2$ تعریف میکنیم باید تا الان مشخص شده باشد. چرا که برای رادیکال با فرجه یک $a$ منظور جواب های معادله ی $x^1=a$ است که برابر خود $a$ است. بنابراین چه لزومی دارد که این حالت را تعریف کنیم؟
برای فرجه صفر معادله به صورت $x^0=a$ در می آید که می دانیم برای هر $x\neq 0$ داریم $x^0=1$ لذا فقط معادله $x^0=1$ معنی دارد که مجموعه جوابی برابر $\mathbb R\setminus \{0\}$ دارد! حال سوال این است که $\sqrt[0]1$ را برابر چی تعریف کنیم!؟
برای $n$ های منفی مثلا برای $n=-2$ داریم $x^{-2}=a$ در اینصورت $\frac1{x^2}=a$ یعنی $x^2=\frac 1a$ . بنابراین حالتی شبیه حالت $n$ های مثبت می شود که قبلا تعریف کرده ایم. لذا لزومی ندارد برای $n$ های منفی تعریف کنیم.
ویرایش بعد از دیدگاه asal4567
ای کاش در یک سوال جداگانه می پرسیدید ولی به هر حال در همین جا پاسخ می دهم.
این سوالتون مثل اینه که بپرسید چرا رادیکال رو به صورت $\sqrt[n]a$ نشان میدهند؟ همانطور که گفتیم طبق تعریف ریشه مثبت معادله ی $x^n=a$ را با $a^{\frac 1n}$ یا $\sqrt[n]a$ نمایش می دهند.
ولی اگه بخوایم باز یه جوری بیشتر خودمونو قانع کنیم ما گفتیم که $\sqrt a$ یعنی جواب معادله ی $x^2=a$ رو باید در نظر بگیریم. از اونجایی که $(a^{\frac 12})^2=a^{\frac 12}a^{\frac 12}=a^{\frac 12+\frac 12}=a^1=a$ پس $a^{\frac 12}$ یک جواب مثبت معادله بالا است . اما گفتیم که جواب مثبت این معادله رو با $\sqrt a$ نمایش می دهیم پس $a^{\frac 12}=\sqrt 2$ .
اینکه چرا فرجه رو فقط برای اعداد طبیعی تعریف می کنیم به نظرم میرسه که باز نیازی نداریم! در واقع برای فرجه های به صورت $\frac mn$ داریم $\sqrt[\frac mn]a=a^{\frac 1{\frac mn}}=a^{\frac nm}=\sqrt[m]{a^n}$ . یا می تونیم به صورت جواب مثبت معادله ی $x^{\frac mn}=a$ بهش نگاه کنیم. در اینصورت با به توان رساندن طرفین داریم داریم $x^m=a^n$ یعنی رادیکال به فرجه $\frac mn$ عدد مثبت $a$ برابر است با رادیکال به فرجه $m$ عدد مثبت $a^n$.
