اثبات رابطه مثلثاتی $ a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \tan^{-1}(\frac{b}{a})) $

Question

لطفا رابطه مثلثاتی زیر را اثبات کنید.

فرض کنید :$a,b \in\mathbb{R^{>0}}$

$$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \tan^{-1}(\frac{b}{a}))$$

Comments

شرطی روی A و B نداریم؟ مثلا مثبت باشن؟
قرار بدید $\alpha=\arctan\frac BA$ در اینصورت $\sin\alpha$ و $\cos\alpha$ رو به دست بیارید و بعد $\sin(x+\alpha)$ رو بسط بدید.

---

@fardina
با روشی که گفتید اثبات شد.علامت A , B شرط خاصی نداره.میتونن منفی باشن. در واقع این رابطه تعمیم این اتحاده:

$$ sinx + cosx = \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4}) $$

---

بجای sin بنویسید \sin که دارای نمایشهای $sin$ و $\sin$ هستند.
ولی من گمان میکنم برای منفی ها درست باشه مثلا وقتی $a=b=-1$ و $x=90$

---

@fardina
برای مثال وقتی $b=-1, a=1$ باز هم درسته. انگار وقتی a , b هر دو منفی باشن نادرسته.

---

@fardina

فکر کنم a قدر مطلق نیاز داشته باشه.
$$\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha) = |a|(\sin{x} + \frac{b}{a}\cos{x})$$

---

یکی مثبت و یکی منفی هم درست نیست مثلا $a=-1$ و $b=\sqrt 3$ در اینصورت با زاویه $x=90$ برابری ایجاد نمیشه.
ولی اگر $a>0$ رابطه برقراره. یعنی میتونیم فقط شرط بزاریم که $a$ مثبت باشه و یا اینکه به قول شما $a$ رو با قدرمطلق بزاریم و شرطی نزاریم.

Answer 1

$$ \beta = \tan^{-1}(\frac{b}{a}) $$

می دانیم:

$$\sin(\tan^{-1}(\frac{b}{a})) = \frac{\frac{b}{a}}{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}} $$ $$\cos(\tan^{-1}(\frac{b}{a})) = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}} $$

عبارت $\sin(x + \alpha)$ را بسط می دهیم.

$$ \sin(x+\beta) = \sin{x}\cos{\beta} + \sin{\beta}\cos{x} $$ $$\sin(x+\beta) = \frac{|a|(\sin{x} + \frac{b}{a}\cos{x})}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

و در آخر:

$$ \sqrt{a^2+b^2}\sin(x + \beta) = |a|(\sin{x} + \frac{b}{a}\cos{x}) $$