بیشترین مساحت پنجره

Question

در بسیاری از بناهای سنتی کشور پنجره هایی وجود دارد که از یک مستطیل با نیم دایره ای بالای مستطیل تشکیل شده است. اگر محیط مستطیل 4/5 باشد ابعاد مستطیل را طوری بیابید که پنجره بیشترین نوردهی را داشته باشد.

Comments

محیط مستطیل(پنجره) چهار و نیم است؟

Answer 1

مستطیلی با ابعاد 2x و y در نظر میگیریم . بنا بر این x اندازه شعاع دایره است

و محیط و مساحت را به ترتیب با P و S نشان می دهیم $$P=4x+2y \longrightarrow y=\frac{1}{2} (p-4x) \ \ \ (*) $$ $$S=\frac{ \pi }{2}x^2+2xy \stackrel{*}=\frac{ \pi }{2}x^2+x( p-4x) $$ چون مقدار بیشینه مساحت را می خواهیم از S مشتق می گیریم و برابر با صفر قرار می دهیم $$ \frac{dS}{dx}=0 \rightarrow \pi x+( p-4x)-4x=0 $$ $$ \Rightarrow x=\frac{P}{8-\pi} $$ عرض مستطیل برابر است با $$2x=\frac{2P}{8-\pi}=\frac{9}{8-\pi}$$

و طول آن برابر است با $$y=\frac{1}{2} (p-4x) =(\frac{P}{2})\frac {4-\pi}{8-\pi} =(\frac{9}{4})\frac {4-\pi}{8-\pi}$$

Answer 2

اگرمحیط کل پنجره را 4/5 بگیریم مساحت آن$ s= \frac{ \pi y^2 }{2}+2xy $

وباتوجه به محیط آن $ \pi y+2 x+2 y=4/5 $

$2 x=4/5-\pi y-2 y$

پس $ s= \frac{ \pi y^2 }{2}+(4/5-\pi y-2 y)y=-\frac{ \pi y^2 }{2}+4/5 y-2 y^2 $

اکنون مشق گرفته برابر صفر قرار می دهیم

$ s' _{y}=- \pi y+4/5-4 y=0 $

که به این رتیب $y= \frac{4/5}{4+ \pi } $

وباجایگزینی $x= \frac{4/5}{4+ \pi }$

ک طول و عرض مستطیل مشخص می شود