Question

اگر $(a-10)^{2}+ (b-10)^{2}=40$ باشد انگاه بیشترین مقدار $\frac{a}{b}$ کدام است؟

بنده با عدد گذاری شانسی به بیشترین مقداری که رسیدم $a=16 , b=8$بود... ایا این سوال روش حل دارد؟

Answer 1

برای پرسش‌های این چنینی یکی از اولین روش‌هایی که به ذهن می‌رسد استفاده از ضرایب لاگرانژ است. می‌توانید به پست آمده در پانویس نیز نگاه بیندازید.¹

تابعی که قرار است آن را بیشینه یا کمینه کنید را $f(a,b)=\frac{a}{b}$ را در نظر بگیرید و سپس برای هر قید (شرط) یک تابع جدید تعریف کنید که برابریِ آن با صفر همان قیدتان شود. در نمونهٔ شما داریم

$$g(a,b)=(a-10)^2+(b-10)^2-40$$

اکنون برای هر قید یک متغیر کمکی معرفی کنید، اینجا یک قید دارید پس یک متغیر کمکی کافی است. آن را $\lambda$ بنامید. اکنون تعریف کنید $F(a,b,\lambda)=f(a,b)+\lambda g(a,b)$ و دستگاه برابری مشتق‌های پاره‌ای‌اش (جزئی) را تشکیل دهید. یعنی $\frac{\partial F}{\partial z}=\frac{\partial F}{\partial b}=\frac{\partial F}{\partial \lambda}=0$.

$$\begin{cases} \frac{1}{b}+2\lambda(a-10)=0\\ \frac{-a}{b^2}+2\lambda(b-10)^2=0\\ (a-10)^2+(b-10)^2-40=0 \end{cases}$$

اکنون کافی است این دستگاه را حل کنید. از روش‌های گوناگونی می‌توانید استفاده کنید. اگر هم می‌خواهید از نرم‌افزار استفاده کنید، در زیر کد Mathematicaیِ آن برای نمونه گذاشته شده‌است.

F=a/b+l*((a-10)^2+(b-10)^2-40);
Solve[D[F,a]==0&&D[F,b]==0&&D[F,l]==0,{a,b,l}]

این دستگاه دو پاسخ دارد $(a,b)=(12,4)$ و $(a,b)=(4,12)$. با جایگذاری آنها در $f(a,b)$ می‌بینید که یکی از این دو نقطه به شما بیشینه یعنی ۳ را می‌دهد و دیگری به شما کمینه یعنی $\frac{1}{3}$ را می‌دهد.

---

1. https://math.irancircle.com/15494/#a15637 ↩︎

Comments

چرا پاسخ من اشتباه است؟ مشکلش چیست؟

---

@sMs زیر همان پاسخ‌تان مشکلش را به شکل دیدگاه برایتان شرح دادم پیش از اینکه پنهانش کنید. دیدگاهی که مربوط به پست دیگری می‌شود (پاسخ قبلی‌تان) را زیر پست دیگری قرار ندهید.

Answer 2

همان‌طور که آقای AmirHosein گفتند راه حل کلی این سوالات استفاده از ضرایب لاگرانژ است(در ریاضی عمومی۲دانشگاه هستش). ولی راه حل خودتان(shadow) برای این سوال می‌تواند جالب‌تر باشد. $y$ را مساوی $a$ و $x$ را مساوی $b$ درنظر می‌گیریم.

نقطه ای روی شکل مورد نظر در نظر می گیریم. مقدار $\frac{y}{x}$ مساوی است با شیب خط گذرنده از نقاط $(x,y)$ و مبدأ:

بنابراین زمانی این مقدار بیشترین است که شیب خط بیشترین باشد و این یعنی خط بر دایره مماس باشد مانند شکل زیر:

معادله شکل به صورت $(x-10)^2+(y-10)^2=40$ است و میدانیم شیب خط $\ell$ مساوی است با مشتق معادله دایره در نقطه ی $(x,y)$. بنابراین مشتق میگیریم(مشتق ضمنی):

$$2(x-10)+2(y-10)y'=0\Rightarrow y'=\frac{10-x}{y-10}$$ پس داریم: $\frac{10-x}{y-10}=\frac{y}{x}$ پس دستگاه زیر را داریم: $$\left\lbrace \begin{array}{ll} x^2+y^2-10x-10y=0 & \ \\ x^2+y^2-20x-20y=-160 & \ \end{array}\right.$$

از هم کم میکنیم نتیجه میشود $x+y=16$. حال در معادله دایره بجای $y$قرار میدهیم$16-x$ نتیجه میشود: $x^2-16x+48=0$.

Comments

با تشکر از شما واقعا
@mdgi
لطف کردید.. ممنون

Answer 3

با درود و ادای احترام به اساتید محترم @AmirHosein و @mdgi : بنظر میاد با حساب استدلالی هم بشه راه حلی پیدا کرد که در سطح دبیرستان باشه. اگر اشتباهی در این استدلال وجود داره گوشزد نمایید. در معادله

$(a-10)^{2} + (b-10)^{2} =40$

اگر با اعداد صحیح مواجه باشیم، عدد $40$ را فقط به چهار طریق زیر میتوان بصورت مجموع دو مجذور نوشت:

$1)6^{2} + 2^{2} =40$

$2)(-6)^{2} + (-2)^{2} =40$

$3)(6)^{2} + (-2)^{2} =40$

$2)(-6)^{2} + (2)^{2} =40$

با چهار حالت فوق، مقادیری که برای $a$ و $b$ درداخل پرانتزهای معادله اصلی میتواند بدست بیاید به ردیفهای بالا عبارتند از:

$1)16;12$

$2)4;8$

$3)16;8$

$4)4;12$

بوضوح دیده میشود که بزرگترین نسبت $\frac{a}{b}$ را در ردیف $4$ میتوان یافت. با اینحال این روش برای حالتهای خاص کاربرد دارد و برای حالت کلی تر بنده خودم راه حل استادان بزرگوار را بیشتر می پسندم.