فرض کنید قطعۀ اول به طول x است که برای ساخت مربع به کار می رود.پس طول قطعۀ دوم که برای ساخت دایره بکار می رود 10-x است.واضح است که محیط مربع x است و محیط دایره 10-x.طول ضلع مربع \frac{x}{4} و مساحت آن ( \frac{x}{4} )^2= \frac{x^2}{16} است.و اگر شعاع دایره r باشد و P محیط و S مساحت داریم:
P=2 \pi r \Rightarrow r= \frac{P}{2 \pi }= \frac{10-x}{2 \pi }
S= \pi r^2= \frac{2 \pi rr}{2} = \frac{Pr}{2}= \frac{(10-x)\frac{10-x}{2 \pi }}{2}= \frac{(10-x)^2}{4 \pi }
حالا اگر کل مساححت را با S(x) نشان دهیم داریم:
S(x)=\frac{x^2}{16} + \frac{(10-x)^2}{4\pi }
این تابع سهمی است که ضریب بیشترین درجۀ آن مثبت است لذا دارای Min نسبی است.
S'(x)= \frac{2x}{16} - \frac{2(10-x)}{2 \pi } =0 \Rightarrow \frac{x}{8} - \frac{10-x}{ \pi } =0 \Rightarrow \frac{ \pi x-8(10-x)}{8 \pi } =0
\Rightarrow \pi x-80+8x=0 \Rightarrow ( \pi +8)x-80=0 \Rightarrow (\pi+8) x=80 \Rightarrow x= \frac{80}{\pi +8}
,S(0)= \frac{100}{4 \pi}= \frac{100}{16} =S(10)
پس در Max داریم.استدلال دیگر برای نتیجۀ اخیر چنین است:
چون (چرا؟) در بین تمام اشکال با محیط ثابت دایره بیشترین مساحت را دارد در x=0 مساحت خواسته شده Max است.
\Box
