فرض کنید قطعۀ اول به طول $x$ است که برای ساخت مربع به کار می رود.پس طول قطعۀ دوم که برای ساخت دایره بکار می رود $10-x$ است.واضح است که محیط مربع $x$ است و محیط دایره $10-x$.طول ضلع مربع $ \frac{x}{4} $ و مساحت آن $( \frac{x}{4} )^2= \frac{x^2}{16} $ است.و اگر شعاع دایره $r$ باشد و $P$ محیط و $S$ مساحت داریم:
$P=2 \pi r \Rightarrow r= \frac{P}{2 \pi }= \frac{10-x}{2 \pi } $
$S= \pi r^2= \frac{2 \pi rr}{2} = \frac{Pr}{2}= \frac{(10-x)\frac{10-x}{2 \pi }}{2}= \frac{(10-x)^2}{4 \pi } $
حالا اگر کل مساححت را با $S(x)$ نشان دهیم داریم:
$S(x)=\frac{x^2}{16} + \frac{(10-x)^2}{4\pi } $
این تابع سهمی است که ضریب بیشترین درجۀ آن مثبت است لذا دارای $Min$ نسبی است.
$S'(x)= \frac{2x}{16} - \frac{2(10-x)}{2 \pi } =0 \Rightarrow \frac{x}{8} - \frac{10-x}{ \pi } =0 \Rightarrow \frac{ \pi x-8(10-x)}{8 \pi } =0$
$ \Rightarrow \pi x-80+8x=0 \Rightarrow ( \pi +8)x-80=0 \Rightarrow (\pi+8) x=80 \Rightarrow x= \frac{80}{\pi +8} $
$,S(0)= \frac{100}{4 \pi}= \frac{100}{16} =S(10) $
پس در $Max$ داریم.استدلال دیگر برای نتیجۀ اخیر چنین است:
چون (چرا؟) در بین تمام اشکال با محیط ثابت دایره بیشترین مساحت را دارد در $x=0$ مساحت خواسته شده $Max$ است.
$ \Box $
