بیشترین مساحت در محیط ثابت و کمترین محیط در مساحت ثابت در چهار ضلعی های محدبی مانند مربع مستطیل و...

Question

بین چهار ضلعی هایی محدب ( مربع مستطیل لوزی....) با محیط ثابت کدام یک بیشترین مساحت را دارد؟ بین چهار ضلعی هایی با مساحت برابر کدام یک کمترین محیط را دارد؟(4ضلعی هایی مانند مربع و...)

Answer 1

دربین اشکال هندسی با محیط ثابت, دایره بیشترین مساحت را دارد. و در بین چندضلعی ها مربع

Comments

سلام و تشکر
اثبات جبری را هم میتوانید ارائه دهید.
ممنون

Answer 2

به نام خدا.

چهارضلعی$ABCD$ را در نظر بگیرید و فرض کنیم که:

$AB=x$

$BC=y$

$CD=z$

$AD=t$

اگر از $B$ به $D$ وصل کنیم، آنگاه داریم:

$ S= \frac{xt sinA}{2} + \frac{yz sinc}{2} \leq \frac{xt}{2} + \frac{yz}{2} $

تساوی زمانی برقرار است که زاویه $ \angle A= \angle C=90$. به طریق مشابه باید زاویه های $B,D$ هم باید 90 باشند.

حالا بین مستطیل و مربع نشان می دهیم که مربع مساحت بیشتری دارد.

مستطیل$ABCD$ را در نظر بگیرید که $AB=x$ و $CD=y$ و $k$ مقدار ثابت است. داریم:

$x+y= \frac{k}{2}$

$SABCD=xy$

پس مساحت وقتی بیشترین مقدار است که $x=y$ باشد.