اگر دنباله $E_n$ یکنواباشد آنگاه $\lim m(E_n)$ وجود دارد.

Question

اگر دنباله $ E_{n} $ یکنوا باشد آنگاه $ \lim_{n\to\infty} m(E_{n}) $ وجود دارد .

Comments

$E_n$ها چی هستند؟
در چه فضایی هستیم؟

---

اگرEnها از زیر مجموعه X باشد و فضای اندازه ( X;S;m) موجود باشد

---

بهتره که سوالتونو ویرایش کنید. نه توی دیدگاه سوالتونو توضیح بدید!
خوب پس منظورتون از $\lim E_n$ در واقع $\lim_{n\to\infty}m(E_n)$ هست؟

Answer 1

یک قضیه که در تمام کتاب های آنالیزی میتونید پیدا کنید از قرار زیر است:

فرض کنید $(X,\mathcal M, \mu) $ یک فضای اندازه باشد:

1. (پیوستگی از پایین) اگر $\{E_i\}\subset \mathcal M $ و $ E_1\subset E_2\subset ... $ آنگاه $$ \mu(\bigcup_1^\infty E_i)=\lim_{i\to\infty}\mu(E_i) $$
2. (پیوستگی از بالا) اگر $ \{E_i\}_1^\infty\subset \mathcal M $ و $ E_1\supset E_2\supset ... $ و برای یک $ n $ داشته باشیم $\mu(E_n)< \infty $ آنگاه $$ \mu(\bigcap_1^\infty E_i)=\lim_{i\to\infty}\mu(E_i) $$

برای اثبات میتونید به عنوان مثال به کتاب فولند فصل اول رجوع کنید.