اگر دو پارهخط qb و qd را مساوی برنداریم (با پرگار میتوان آن دو را با زدن یک کمان مساوی کرد)، آنگاه شکل زیر مثال نقض میدهد. میتوانید بیشمار زاویه با دو پارهخطِ منتهی به پارهخطِ bd-ِ واقع در شکلتان رسم کنید برای نمونه در شکل زیر یکی با رنگ آبی و یکی با رنگ بنفش رسم کردهایم. و سپس پارهخطی که از گوشهٔ زاویه به نقطهٔ f را کلفتتر (ضخیمتر) رسم کردهایم. برای زاویهٔ بنفش پارهخطی که به عنوان تقریبی از ثلثکننده معرفی شدهاست زاویه را واقعا ثلث (یا نزدیک به ثلث) نکردهاست.
اکنون فرض میکنیم که qb و qd مساوی اتخاذ شدهاند. در این حالت اگر نقطهٔ f، پارهخطِ bd را سهقسمت مساوی کند، خطی که از q به f رسم میشود، زاویهٔ مورد نظر را ثلث میکند. پس میخواهیم نسبت واقعیِ (نه تقریبی) درازای پارهخط bf به درازای پارهخطِ bd را پیدا کنیم. به شکل زیر دقت کنید.
بدون کاستن از کلیت حداکثر با یک انتقال (انتقالها در صفحهٔ مختصات درازای پارهخطها و اندازهٔ زاویهها را تغییر نمیدهند) فرض کنید b مرکز محور مختصات است. اندازهٔ شعاع دو دایره که با درازای پارهخط bd برابر است را r در نظر بگیرید. چون زاویههای ebf و fbc را داریم (هر دو ۶۰ درجه هستند) میتوان بردار هادیِ دو پارهخطِ be و bc را پیدا کنیم و چون درازای آنها را نیز داریم (r و $\frac{r}{2}$) میتوانیم دقیقا مختصات نقطههای e و c را بیاییم.
$$e=\frac{r}{2}(-\sin 60,-\cos 60)=(-\frac{\sqrt{3}}{4}r,-\frac{1}{4}r)$$
$$c=r(\sin 60,-\cos 60)=(\frac{\sqrt{3}}{2}r,-\frac{1}{2}r)$$
اکنون با توجه به اینکه f محل تلاقی خط واصل e و c با محور yها است کافیست معادلهٔ این خط را یافته و عرض از مبدأ آن را بیابیم. ابتدا شیب خط:
$$m=\dfrac{-\frac{1}{2}r-(-\frac{1}{4}r)}{\frac{\sqrt{3}}{2}r-(-\frac{\sqrt{3}}{4}r)}=-\frac{1}{3\sqrt{3}}$$
اکنون خط با شیب $m$ و گذرنده از نقطهٔ e:
$$y-(\frac{-1}{2}r)=\frac{-1}{3\sqrt{3}}(x-\frac{-\sqrt{3}}{4}r)$$
اکنون با صفر گذاشتن به جای $x$ داریم $y=\frac{-1}{12}r+\frac{-1}{4}r=-\frac{1}{3}r$.
