آیا روش زیر برای تقسیم یک زاویه به سه قسمت مساوی درست است؟

Question

آیا با روش زیر زاویهٔ bqd به سه قسمت برابر تقسیم می‌شود؟

Comments

منظورتان سه قسمت تقریبا «مساوی» است؟ بعضی زمان‌ها جا انداختن واژه‌ها می‌تواند پرسش‌تان را بی‌معنا کند. استفاده از چه ابزارهایی برایتان مجاز است؟

---

@amirhosein  ابزار خط کش و پرگار
زاویه bqd رو در نظر بگیر حالا دو تا دایره به مرکز bوd و شعاع bd رسم میکنیم طبق اون مثلثی که تو شکل رسم شده bf=1/3 bd   اگه مثلث رو رو به این ور رسم کنیم نقطه مانند z بدست میاد که  zd=1/3 bd  یعنی bf=fz=zd حالا اگه دو تا پاره خط از q به fو z رسم کنیم زاویه های bqf و fqzو zqd تقریبا باهم برابر میشن ( تثلیث تقریبی میشه )

---

@Farzadgh اثباتی که در شکل نوشتید را باید به صورت متن در پرسش تایپ کنید! در ضمن (۱) را جا انداخته‌اید که فکر کنم منظورتان به طریق مشابه برای سه‌گوش $bcd$ بوده‌است و از ۱ و ۲ می‌خواسته‌اید ثابت کنید $\hat{b}_1$ شصت درجه‌ است نه $\hat{b}_3$! خط آخرتان نیز از نظر منطقی بی‌معناست! یعنی چه که مثلث آنگاه فلان میانه! مانند این است که در صحبت کردن واژه‌ها را جا بیندازید، مثلا برای پرسیدن «اهل کجا هستید؟» بگوئید «اهل هستید؟»! فکر نکنید جا انداختن واژه‌ها در ریاضی‌نویسی یعنی صرفه‌جویی در زمان‌تان، اگر نوشته بی‌معنا شود صرفه‌جویی در زمان نکرده‌اید یا اختصارنویسی بلکه بی‌معنانویسی کرده‌اید. چگونه از اینکه ce یالِ ad و db یالِ ac را نصف می‌کنند یک دفعه‌ای نتیجه گرفتید که bf یک‌سوم bd است؟

Answer 1

اگر دو پاره‌خط qb و qd را مساوی برنداریم (با پرگار می‌توان آن دو را با زدن یک کمان مساوی کرد)، آنگاه شکل زیر مثال نقض می‌دهد. می‌توانید بی‌شمار زاویه با دو پاره‌خطِ منتهی به پاره‌خطِ bd-ِ واقع در شکل‌تان رسم کنید برای نمونه در شکل زیر یکی با رنگ آبی و یکی با رنگ بنفش رسم کرده‌ایم. و سپس پاره‌خطی که از گوشهٔ زاویه به نقطهٔ f را کلفت‌تر (ضخیم‌تر) رسم کرده‌ایم. برای زاویهٔ بنفش پاره‌خطی که به عنوان تقریبی از ثلث‌کننده معرفی شده‌است زاویه را واقعا ثلث (یا نزدیک به ثلث) نکرده‌است.

اکنون فرض می‌‌کنیم که qb و qd مساوی اتخاذ شده‌اند. در این حالت اگر نقطهٔ f، پاره‌خطِ bd را سه‌قسمت مساوی کند، خطی که از q به f رسم می‌شود، زاویهٔ مورد نظر را ثلث می‌کند. پس می‌خواهیم نسبت واقعیِ (نه تقریبی) درازای پاره‌خط bf به درازای پاره‌خطِ bd را پیدا کنیم. به شکل زیر دقت کنید.

بدون کاستن از کلیت حداکثر با یک انتقال (انتقال‌ها در صفحهٔ مختصات درازای پاره‌خط‌ها و اندازهٔ زاویه‌ها را تغییر نمی‌دهند) فرض کنید b مرکز محور مختصات است. اندازهٔ شعاع دو دایره که با درازای پاره‌خط bd برابر است را r در نظر بگیرید. چون زاویه‌های ebf و fbc را داریم (هر دو ۶۰ درجه هستند) می‌توان بردار هادیِ دو پاره‌خطِ be و bc را پیدا کنیم و چون درازای آنها را نیز داریم (r و $\frac{r}{2}$) می‌توانیم دقیقا مختصات نقطه‌های e و c را بیاییم.

$$e=\frac{r}{2}(-\sin 60,-\cos 60)=(-\frac{\sqrt{3}}{4}r,-\frac{1}{4}r)$$ $$c=r(\sin 60,-\cos 60)=(\frac{\sqrt{3}}{2}r,-\frac{1}{2}r)$$ اکنون با توجه به اینکه f محل تلاقی خط واصل e و c با محور yها است کافیست معادلهٔ این خط را یافته و عرض از مبدأ آن را بیابیم. ابتدا شیب خط: $$m=\dfrac{-\frac{1}{2}r-(-\frac{1}{4}r)}{\frac{\sqrt{3}}{2}r-(-\frac{\sqrt{3}}{4}r)}=-\frac{1}{3\sqrt{3}}$$ اکنون خط با شیب $m$ و گذرنده از نقطهٔ e: $$y-(\frac{-1}{2}r)=\frac{-1}{3\sqrt{3}}(x-\frac{-\sqrt{3}}{4}r)$$ اکنون با صفر گذاشتن به جای $x$ داریم $y=\frac{-1}{12}r+\frac{-1}{4}r=-\frac{1}{3}r$.

Comments

@fardina و @erfanm و @Maisam.Hedyehloo به نظرتان کجا می‌تواند اشتباه شده‌باشد؟