به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
216 بازدید
در دبیرستان توسط .math lover. (-3 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

آیا درست است که از میان هر ده پاره خط می‌توان سه پاره خط پیدا کرد که اصل نابرابری مثلثی در آنها برقرار باشد و بتوان با آنها یک مثلث ساخت؟

توسط قاسم شبرنگ (2,420 امتیاز)
کاملن درسته.
در دنباله فیبوناتجی هیچ سه تایی تشکیل مثلث نمی دهد.
توسط amir7788 (2,972 امتیاز)
سوال خوبی مطرح شد واضح است که جواب منفی می باشه اما چیزی که منو به فکر وا داشته اینکه با چه شرطی برقرار می باشه؟
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+1
@amir7788 شرط لازم و کافی این است که حداقل یک سه تایی در بین $n$ عددتان باشد که هیچ یک از جمع دوتای دیگر بیشتر نباشد. از این ساده‌تر نمی‌شود. حال هر شرط دیگری که روی این عددها بگذارید که این از آن نتیجه شود هم برای این پرسش کار می‌کند ولی به صورت یک‌طرفه. برای نمونه می‌توانست گزاره به این شکل باشد «از هر ۱۰ پاره‌خطی که درازای آنها ۱۰ جملهٔ پشت‌سرهمِ یک دنبالهٔ حسابی باشند، می‌توان ۳ تا را برداشت که تشکیل یک سه‌گوش دهند».
توسط amir7788 (2,972 امتیاز)
@AmirHoseinمنظورم این است که شرط روی اندازه پاره خطها قرار دهیم امکان درست بودن وجود داره؟ مثلا اندازه پاره خطها کمتر از 20 باشه؟
توسط amir7561 (1 امتیاز)
سلام
البته دنباله حسابی غیر ثابت

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)

عدد ۱۰ در این پرسش نقش خاصی ندارد، شما $n$ را عدد طبیعی دلخواه در نظر بگیرید. اکنون یک مجموعه از $n$ پاره‌خط می‌سازیم که هرگز هیچ سه‌تایی از آنها یک سه‌گوش نسازند. این $n$ پاره‌خط را شماره‌گذاری کنید و پاره‌خط $i$اُم که $i$ عددی بین ۱ تا $n$ است را از درازا (طول) -ِ $10^i$ بگیرید. پس اندازهٔ این پاره‌خط‌ها به ترتیب ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰، ... است. اگر سه پاره‌خط را بتوان برای ساخت یک سه‌گوش (با کمک انتقال و دوران آنها) به کار برد، آنگاه باید نابرابریِ سه‌گوشی برای هر سه حالت ممکن بین درازاهایشان برقرار باشد. این یعنی اگر درازای این سه پاره‌خط را با $a$ و $b$ و $c$ نمایش دهیم آنگاه باید سه نابرابریِ زیر برقرار باشند.

$$\begin{cases} a \leq b + c\\ b \leq a + c\\ c \leq a + b \end{cases}$$

اکنون فرض کنید سه پاره‌خط انتخاب شده از بین $n$ پاره‌خط‌مان شماره‌های $i_1$ و $i_2$ و $i_3$ باشند. بدون کاستن از کلیت با یک تغییر نام اندیس‌ها می‌توانید فرض کنید که $i_1\lneqq i_2\lneqq i_3$. در این حالت بدیهی است که نابرابریِ سه‌گوشی برای حالتی که بزرگترین پاره‌خط سمت چپ قرار گرفته باشد برقرار نیست. زیرا

$$\begin{array}{l} i_1 \lneqq i_2\Rightarrow 10^{i_1}\lneqq 10^{i_2}\Rightarrow 10^{i_1}+10^{i_2}\lneqq 10^{i_2}+10^{i_2}=2(10^{i_2})\\ 2\lneqq 10\Rightarrow 2(10^{i_2})\lneqq 10(10^{i_2})=10^{i_2+1}\\ i_2\lneqq i_3\Rightarrow i_2+1\leq i_3\Rightarrow 10^{i_2}\leq 10^{i_3} \end{array}$$

در کنار هم گذاشتن نتیجهٔ سه خط بالا به ما نتیجهٔ زیر را می‌دهد.

$$10^{i_1}+10^{i_2}\lneqq 2(10^{i_2})\lneqq 10^{i_2+1} \leq 10^{i_3}\Longrightarrow 10^{i_1}+10^{i_2}\lneqq 10^{i_3}$$

این برعکسِ سمتی است که در برابریِ سه‌گوشی انتظار می‌رود یعنی اندازهٔ یکی از پاره‌خط‌ها نه کوچکتر و نه برابر با جمع درازای دو پاره‌خط دیگر است. پس سه‌گوشی با این سه پاره‌خط نمی‌توان کشید. و چون فرضِ خاصی روی اینکه این سه‌تا کدام سه‌تا از بین $n$تا پاره‌خطِ داده‌شده باشند نداشتیم، یعنی هر سه پاره‌خطی از این پاره‌خط‌ها هم همین اثبات برایشان صدق می‌کند و در نتیجه هیچ سه‌تایی از آنها نیست که سه‌گوش بسازند.

توسط قاسم شبرنگ (2,420 امتیاز)
استدلال جالبی بود.
اما نابرابری مثلث اکید است که به نظر میاد اشتباه تایپی باشد.
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
@قاسمـشبرنگ نامساوی سه‌گوشی زمانی اکید در نظر گرفته می‌شود که حالت هر سه یال بر هم منطبق‌بودن را بخواهیم حذف کنیم. برای نمونه صفحهٔ ویکی‌پدیای این نابرابری را نگاه کنید که نامساوی را اکید نگذاشته‌است.
https://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_inequality
توسط قاسم شبرنگ (2,420 امتیاز)
گویا بعضیها حالت تساوی را مثلثی با مساحت صفر در نظر می گیرند.
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
@قاسمـشبرنگ در هر صورت، مثالِ نقض برای حالتی که نامساوی را الزاما اکید نگیرید، به طور خودکار مثال نقض برای حالتی که نامساوی را اکید بگیرید هم می‌شود (اما برعکس این گزاره درست نیست).
توسط قاسم شبرنگ (2,420 امتیاز)
بله متوجه شدم.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...