عدد ۱۰ در این پرسش نقش خاصی ندارد، شما $n$ را عدد طبیعی دلخواه در نظر بگیرید. اکنون یک مجموعه از $n$ پاره‌خط می‌سازیم که هرگز هیچ سه‌تایی از آنها یک سه‌گوش نسازند. این $n$ پاره‌خط را شماره‌گذاری کنید و پاره‌خط $i$اُم که $i$ عددی بین ۱ تا $n$ است را از درازا (طول) -ِ $10^i$ بگیرید. پس اندازهٔ این پاره‌خط‌ها به ترتیب ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰، ... است. اگر سه پاره‌خط را بتوان برای ساخت یک سه‌گوش (با کمک انتقال و دوران آنها) به کار برد، آنگاه باید نابرابریِ سه‌گوشی برای هر سه حالت ممکن بین درازاهایشان برقرار باشد. این یعنی اگر درازای این سه پاره‌خط را با $a$ و $b$ و $c$ نمایش دهیم آنگاه باید سه نابرابریِ زیر برقرار باشند.
$$\begin{cases}
a \leq b + c\\
b \leq a + c\\
c \leq a + b
\end{cases}$$
اکنون فرض کنید سه پاره‌خط انتخاب شده از بین $n$ پاره‌خط‌مان شماره‌های $i_1$ و $i_2$ و $i_3$ باشند. بدون کاستن از کلیت با یک تغییر نام اندیس‌ها می‌توانید فرض کنید که $i_1\lneqq i_2\lneqq i_3$. در این حالت بدیهی است که نابرابریِ سه‌گوشی برای حالتی که بزرگترین پاره‌خط سمت چپ قرار گرفته باشد برقرار نیست. زیرا
$$\begin{array}{l}
i_1 \lneqq i_2\Rightarrow 10^{i_1}\lneqq 10^{i_2}\Rightarrow 10^{i_1}+10^{i_2}\lneqq 10^{i_2}+10^{i_2}=2(10^{i_2})\\
2\lneqq 10\Rightarrow 2(10^{i_2})\lneqq 10(10^{i_2})=10^{i_2+1}\\
i_2\lneqq i_3\Rightarrow i_2+1\leq i_3\Rightarrow 10^{i_2}\leq 10^{i_3}
\end{array}$$
در کنار هم گذاشتن نتیجهٔ سه خط بالا به ما نتیجهٔ زیر را می‌دهد.
$$10^{i_1}+10^{i_2}\lneqq 2(10^{i_2})\lneqq 10^{i_2+1} \leq 10^{i_3}\Longrightarrow 10^{i_1}+10^{i_2}\lneqq 10^{i_3}$$
این برعکسِ سمتی است که در برابریِ سه‌گوشی انتظار می‌رود یعنی اندازهٔ یکی از پاره‌خط‌ها نه کوچکتر و نه برابر با جمع درازای دو پاره‌خط دیگر است. پس سه‌گوشی با این سه پاره‌خط نمی‌توان کشید. و چون فرضِ خاصی روی اینکه این سه‌تا کدام سه‌تا از بین $n$تا پاره‌خطِ داده‌شده باشند نداشتیم، یعنی هر سه پاره‌خطی از این پاره‌خط‌ها هم همین اثبات برایشان صدق می‌کند و در نتیجه هیچ سه‌تایی از آنها نیست که سه‌گوش بسازند.
