معکوس ماتریس متقارن با عناصر قطری و غیر قطری یکسان

Question

با عرض سلام و ادب خدمت اساتید بزرگوار سوالی از خدمت شما داشتم، در صورتیکه پاسخ بدید سپاسگزار خواهم بود البته قبل از آن از احتمالا ساده بودن سوال عذرخواهی میکنم چرا که من دانشجوی ریاضیات نبوده و صرفاً برای انجام رساله به جواب این سوال نیازمندم. بنده احتیاج به محاسبه معکوس یک ماتریس متقارن با سایز n*n هستم که عناصر قطر اصلی برابر با A و عناصر دیگر برابر با B هستند. شکل این ماتریس پیوست شده است. ممنون میشم نحوه محاسبه ماتریس معکوس را بفرمایید. با تشکر

Comments

چه روش‌هایی را تا کنون امتحان کرده‌اید؟ برای $n$های کوچک امتحان کرده‌اید؟ چه دانشجوی ریاضی باشید چه نباشید چیزی که در پایان‌نامه می‌آورید را باید آموخته‌باشید. وارون ماتریس را محاسبه کردن در ریاضی دبیرستان نیز اشاراتی شده‌است. می‌توانید دو سه روش محاسبهٔ وارون ماتریس را از کتاب‌های جبرخطی، ریاضی عمومی، مبانی ماتریس‌ها و غیره پیدا کنید و روی پرسش‌تان پیاده کنید. نیاز به داشتن تخصص خاصی نیز ندارد پس فکر کنم بتوانید انجام بدهید.

بعلاوه به جای ضمیمه کردن تصویر ماتریس می‌توانید خیلی ساده با دستورات TeX ماتریس‌تان را بنویسید. هدف دستگاه آموزشی این است که تخصص‌ها و توانایی‌های شما افزایش یابند نه اینکه چیزی که قبلا حل‌شده یا کشف شده را برایشان تکرار کنید. بنابراین اینکه نوشتن ماتریس با TeX و روش محاسبهٔ دترمینان مثلا با بسط حول یک سطر یا یک ستون (یا تعمیم آن، حول چند سطر یا چند ستون) یا محاسبهٔ دترمینان بوسیلهٔ ساده‌سازی سطری و تبدیل به یک ماتریس مثلثی کردن را یاد بگیرید هدف بوده‌است و در نهایت از نتیجهٔ این آموخته‌ها در یک حالت خاص دترمینان ماتریسی که اشاره کردید را نیز بیابید و ادامهٔ ماجرا. وگرنه این دترمینان ماتریس شما را هر سال چندین هزار دانشجو محاسبه می‌کنند و پاسخش چیزی نیست که انتظار جامعهٔ علمی  از شما است.

بنابراین راهنمایی من به شما این است که یکی دو روش محاسبهٔ دترمینان را از دوستانتان یا از کتابی پیدا کنید و سپس روی یکی دو $n$-ِ کوچک امتحان کنید و سپس برای حالت کلی را خود به خود متوجه می‌شوید. اگر در انجام آن به مشکلی برخوردید، آن مشکل را مطرح کنید تا بیشتر راهنمایی‌تان کنیم.

---

@amirhosein
حق با شماست. فقط این جواب چون ایده ی جالبی داشت ، گذاشتمش.

تا این دوستمون با دیدن این ایده، بتواند از آن برای حل سوالات مشابه استفاده کند.

Answer 1

قرار می دهیم $P=\begin{bmatrix}1 &1& \ldots 1 \\1 &1& \ldots 1\\ \vdots & \vdots & \ddots \vdots \\1 &1& \ldots 1 \end{bmatrix}$

می دانیم اگر ماتریس از مرتبه $n$ باشد آنگاه : $P^2=nP$

حال حل سوال شما. ماتریس گفته شده را می توان به صورت $BP+(A-B)I$ نوشت. حال حدس می زنیم که وارون آن به صورت $KP+ \frac{1}{A-B} I$ باشد و مقدار $K$ را می یابیم. $$(BP+(A-B)I)(KP+ \frac{1}{A-B} I)=I$$

پس داریم: $$(nBK+(A-B)K+ \frac{B}{A-B})P+I=I$$

کافیست $nBK+(A-B)K+ \frac{B}{A-B}=0$ که با حل آن داریم: $$K= \frac{-B}{(A-B)(nB+A-B)}$$

پس وارون برابر است با: $$\frac{-B}{(A-B)(nB+A-B)}P+ \frac{1}{A-B} I$$

این جواب برگرفته از جوابی است که قبلا دیده بودم.