وارونپذیری ماتریس سهقطری که درایههای قطر اصلی یکسان و درایههای دو قطر کنارش نیز با هم یکسان هستند.

Question

چطور می توانم ثابت کنم ماتریس $P_1 $ وارون پذیر است؟ که j هر عدد بزرگتر از ۲ می باشد و تعداد سطرها و ستون های ماتریس $ 2^{j} +1 $ است. عددهای سطر دوم در سطرهای بعد تکرار می شوند و فقط یک ستون جلو می روند.

$$ P_1=\frac{1}{2^{j}} \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & 0&\cdots &0\\ \frac{1}{6}&\frac{2}{3}&\frac{1}{6} &\cdots & 0\\ \vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots\\ 0&\cdots &\frac{1}{6}&\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\ 0&\cdots & 0 & \frac{1}{6} &\frac{1}{3} \end{bmatrix} $$

Answer 1

راه حل ساده‌است. با اعمال ستونی‌-مقدماتی جلو می‌رویم. یک چهارم ستون ما قبل آخر را از ستون آخر کم کنید. همهٔ درایه‌های ستون آخر صفر می‌شوند غیر از عنصر روی قطر اصلی آن که برابر با یک سوم منهای یک بیست و چهارم می‌شود. اکنون یک چهارم دو ستون قبل از آخر را از یک ستون قبل از آخر کم کنید همهٔ درایه‌های آن به غیر از درایهٔ روی قطر اصلی و درایهٔ زیرینش صفر می‌شوند و این دو درایه به ترتیب برابر با دو سوم منهای یک بیست و چهارم و یک ششم می‌شوند. همین روند را تکرار کنید و یک چهارم ستون $i$اُم را از ستون $i+1$ اُم کم کنید که $i$ بین $n-2$ تا $2$ عقب می‌رود. $n$ را در اینجا مرتبهٔ ماتریس مربعی‌تان در نظر گرفته‌ام. در آخر یک دوم ستون یکم را از ستون دوم کم کنید که همهٔ درایه‌های ستون دوم را به غیر از درایهٔ روی قطر اصلی و داریهٔ زیرینش را صفر می‌کند که به ترتیب برابر با دو سوم منهای یک دوازدهم و یک ششم می‌شوند. اکنون چون یک ماتریس پائین‌مثلثی دارید، دترمینان آن برابر با حاصلضرب عناصر روی قطر اصلی آن می‌شود که در اینجا برابر است با $$\dfrac{1}{3}(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{12})(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{24})^{n-3}(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{24})$$ اسکالر $\dfrac{1}{2^j}$ تان نیز تأثیرش این است که دترمینان را $(\dfrac{1}{2^j})^n$ برابر می‌کند که به ازای هر مقدار صحیحی از $j$ مقداری ناصفر می‌شود. پس ماتریس‌تان وارون‌پذیر است.

Comments

با تشکر از وقتی که برای این سوال گذاشتید.
 من از راه حلی که گفتید ایده گرفته و ماتریسم را پایین مثلثی کردم و به دترمینان ناصفر هم رسیدم ولی به صورت دیگر:
ابتدا ستون اول را در منفی یک دوم ضرب کرده با ستون دوم جمع کردم. بعد ستون دوم را در منفی دو هفتم ضرب کرده و با ستون سوم جمع کردم، الی آخر...
به روش شما که از ستونهای آخر شروع کرده اید ماتریس بالا مثلثی نمی شود چون درایه دو سطر ما قبل آخر و ستون ماقبل آخر یک ششم است و این مشکل پیش می آورد. به نظرم ضرایبی را هم که در ستونها ضرب کرده اید درست انتخاب نشده اند و محاسباتی که نوشته اید به این صورت به دست نمی آیند. درست است یا من اشتباه می کنم؟

---

@ismaeelpour یک‌دوم‌های قبل از رسیدن به ستون یک به دو را می‌بایست یک‌چهارم می‌گرفتم.

اینکه از کدام سمت حرکت کنید نباید تفاوتی در پاسخ آخر ایجاد کند. ولی علتی که من از راست حرکت کردم این است که ضریب‌هایی که باید ضرب کنم خیلی راحت یک چهارم هستند و در یک مورد یک دوم می‌شود ولی اگر از چپ شروع کنید یکمی یک دوم است و بعدی‌ها را باید بحث کنید.

---

@amirHosein
من فکر کنم شما درایه های سطر سوم را اشتباه متوجه شده اید. در حالت j=2 داریه های های سطر سوم ۰،۱/۶،۲/۳،۱/۶،۰ می باشند. که برای پایین مثلثی شدن مشکل ایجاد می کند.
از طرفی وقتی از آخر شروع کنید ۱/۶ سطر آخر را چطور صفر می کنید که ماتریس بالا مثلثی شود؟

---

@ismaeelpour نه اشتباه متوجه نشدم. دقیقا یک ششم سمت راست را صفر می‌کنم و درایهٔ روی قطر اصلی دو سوم است که تمامی درایه‌های سمت راستش صفر می‌شوند پس مشکلی با پائین‌مثلثی شدن ندارد. یک ششم ستون آخر دقیقا در نخستین گامی که توضیح دادم صفر شده‌است. برای چی می‌گوئید یک ششم سطر آخر؟ برای پائین مثلثی شدن باید درایه‌های مثلث بالای قطر اصلی صفر شوند نه مثلث پائین قطر اصلی.

Answer 2

یک راه حل ساده برای این مسئله وجود داره. ماتریس موردنظر متقارنه و غالب قطری اکید و درایه های روی قطر اصلی مثبت هستن پس معین مثبته و بنابراین وارون پذیره.