برای اینکه با نمادها بیشتر آشنا شویم خیلی مقدماتی اینجا چند چیز را یادآوری می‌کنیم. میدان اعداد حقیقی (محموعهٔ اعداد حقیقی به همراه اعمال جمع و ضرب و ویژگی‌هایشان) را با $\mathbb{R}$ نمایش دهید. مجموعهٔ ماتریس‌های حقیقی‌مقدار (بعنی درایه‌هایش از $\mathbb{R}$ بیایند را با $M_{m\times n}(\mathbb{R})$ نمایش می‌دهیم. پس اگر $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ آنگاه $A$ دارای $m\times n$ درایه است که می‌توان به صورت نمادین درایهٔ سطر $i$اُم-ستون $j$اُم را با $a_{ij}$ نمایش داد. این را با نمادگذاری
$$A=[a_{ij}]_{m\times n}$$
نیز نمایش می‌دهیم. زمانی که ابعاد (تعداد سطر و ستون) یک ماتریس مشخص است و نیاز به تأکید ندارد از نوشتن زیراندیس تعداد سطر و ستون خودداری می‌کنیم. ولی توجه کنید که اگر ماتریس‌های با ابعاد متفاوت دارید و ننوشتن زیراندیس بعدها باعث ابهام شود، باید حتما زیراندیس را نگه دارید. اکنون جمع دو ماتریس هم‌مرتبهٔ $A=[a_{ij}]$ و $B=[b_{ij}]$ یک ماتریس جدید با همان ابعاد مانند $C=[c_{ij}]$ می‌شوند که درایهٔ $c_{ij}$ (یعنی درایهٔ سطر $i$اُم-ستون $j$اُم از ماتریس $C$) برابر می‌شود با $a_{ij}+b_{ij}$. توجه کنید وقتی که کروشه را در دو طرف $a_{ij}$ نمی‌گذاریم، دیگر کل ماتریس منظور نیست و تنها یک درایه از آن منظور است و فرض کرده‌ایم که $i$ یک عدد بین ۱ تا $m$ و $j$ یک عدد بین ۱ تا $n$ است که انتخاب و ثابت گرفته‌شده‌است. ضرب یک اسکالر (عدد، نه ماتریس یا بردار) در یک ماتریس به این روش تعریف می‌شود. $r$ را یک عدد حقیقی دلخواه بردارید و ثابت در نظر بگیرید. اکنون $rA$ یک ماتریس جدید است از ابعاد ماتریس $A$ که اگر آن را با $D=[d_{ij}]$ نمایش دهیم، آنگاه داریم به ازاری هر $i$ و هر $j$ که $d_{ij}=ra_{ij}$. تفریق دو ماتریس هم‌مرتبه یعنی $A-B$ نیر با این دو تعریف قبلی به طور یکتا مشخص می‌شود یعنی کافیست ابتدا ضرب اسکالریِ $(-1)B$ را محاسبه و سپس جمع ماتریسی $A+\big((-1)B)$ را محاسبه کنید. که هم‌ارز با این است که از همان ابتدا درایه‌های نظیر را از هم کم کنید. پس اگر ماتریس جدید را $E=[e_{ij}]$ بنامیم، داریم $e_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$.
اکنون به سراغ پرسش شما برویم. فرض‌هایمان به شرح زیر هستند.
$$r\in\mathbb{R}-\lbrace 0\rbrace,\quad A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}b_{ij}\end{bmatrix}\in M_{m\times n}(\mathbb{R}), \quad rA=rB$$
حکم این است که $A=B$.
دو حالت داریم، اگر قبلا ثابت کرده باشید که اگر ضرب یک اسکالر ناصفر در یک ماتریس برابر صفر شود آنگاه ماتریس‌تان از ابتدا ماتریس صفر بوده‌است، آنگاه اثباتتان، درست شمرده می‌شود. اگر این ویژگی را دانسته فرض نکنید آنگاه بعد از انتهای خط سوم (شمردن خط‌ها از خطی که نوشتید «اثبات») باید تغییر داده شود، یا اینکه بعد یا قبل از متن‌تان گزارهٔ استفاده شده را ثابت کنید.
برای نوشتن یک انتخاب یکتا ندارید ولی برای مطابقت با نوشتاری که خودتان نیز انتخاب کردید و در ابتدای پاسخ اشاره‌ای داشتیم به صورت زیر می‌نویسیم.
ماتریس $rA$ را با $C$، ماتریس $rB$ را با $D$ نمایش دهید. از اینکه این دو ماتریس با هم برابر هستند این نتیجه را می‌گیرید که به ازای هر سطر و ستونی، درایه‌هایشان نظیر به نظیر با یکدیگر مساوی هستند. پس اگر $i$ یک عدد بین ۱ و $m$ و $j$ یک عدد بین ۱ و $n$ باشد آنگاه داریم $c_{ij}=d_{ij}$ که با توجه به تعریف ضرب اسکالری به ما می‌گوید که $ra_{ij}=rb_{ij}$. اکنون چون اینها عدد حقیقی هستند با کمک ویژگی‌های میدان اعداد حقیقی نسبت به جمع و ضرب (شرکتپذیری، جابجایی، توزیعپذیری ضرب به جمع و ...) می‌توانیم این نتیجه را بگیریم که $ra_{ij}-rb_{ij}=0$ و $r(a_{ij}-b_{ij})=0$ که چون در اعداد حقیقی اگر ضرب دو عدد (اینجا دو عددمان یکی $r$ و دیگری $a_{ij}-b_{ij}$ است) صفر است اگر و تنها اگر دست‌کم یکی از آنها صفر باشد و اینکه می‌دانیم $r$ صفر نیست، داریم $a_{ij}-b_{ij}=0$ که هم‌ارز است با اینکه $a_{ij}=b_{ij}$. چون به ازای هر $i$ و $j$ این رابطه را ثابت کردیم پس تمامی درایه‌های دو ماتریس $A$ و $B$ با هم برابر هستند.
اگر بخواهیم به صورت فقط استفاده از نمادها این را بنویسیم مانند متن شما آنگاه
$$
\begin{array}{lll}
rA=rB & \Longrightarrow & rA-rB=O\\
& \Longrightarrow & r[a_{ij}]-r[b_{ij}]=[0]\\
& \Longrightarrow & [ra_{ij}]-[rb_{ij}]=[0]\\
& \Longrightarrow & [ra_{ij}-rb_{ij}]=[0]\\
& \Longrightarrow & [r(a_{ij}-b_{ij})]=[0]\\
& \Longrightarrow & \forall 1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\;:\;r(a_{ij}-b_{ij})=0\\
& \overset{r\neq 0}{\Longrightarrow} & \forall 1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\;:\;a_{ij}-b_{ij}=0\\
& \Longrightarrow & \forall 1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\;:\;a_{ij}=b_{ij}\\
& \Longrightarrow & [a_{ij}]=[b_{ij}]\\
& \Longrightarrow & A=B
\end{array}
$$
