به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
455 بازدید
در دانشگاه توسط Hamid1234 (6 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

دو ماتریس‌ مربعی $A$ و $B$ را در نظر بگیرید. با فرض وارون‌پذیر بودن $A+B$ ثابت کنید که $$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A$$

توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
@Hamid1234 چرا نتوانستید تایپ کنید؟ سایر کاربرها هم فرمول‌های ریاضی‌شان را تایپ می‌کنند! برای اینکه به پرسش‌تان ارزش گذاشته شود ابتدا باید خودتان برایش ارزش قائل شوید. لطفا پست مربوط به تایپ ریاضی را بخوانید، چند لحظه وقت گذاشتن باعث می‌شود که زمان بیشتری را در آینده برایتان جبران خواهد کرد.
https://math.irancircle.com/56
من این بار برایتان متن پرسش‌تان را ویرایش کردم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط mdardah (1,636 امتیاز)
ویرایش شده توسط mdardah

بنام خدا.داریم $ (A+B) (A+B)^{-1}=I \Rightarrow A (A+B)^{-1} +B (A+B)^{-1} =I \Rightarrow $

$ \bbox[5px,border:2px solid red] { A (A+B)^{-1} =I-B (A+B)^{-1} \qquad (1) } $

حال ثابت می کنیم$A (A+B)^{-1}B $ معکوس ماتریس $( A^{-1} + B^{-1} )$ می باشد.

$( A^{-1} + B^{-1})A (A+B)^{-1}B= A^{-1} A (A+B)^{-1}B+ B^{-1} A (A+B)^{-1}B$

$I (A+B)^{-1}B+B^{-1} A (A+B)^{-1}B$

حال اگر بجای $A (A+B)^{-1}$از رابطه (1)در کادر بالا مساوی آن را قرار دهیم داریم

$ (A+B)^{-1}B+ B^{-1}( I-B (A+B)^{-1})B=$

$(A+B)^{-1}B+(B^{-1}-I (A+B)^{-1})B$

$(A+B)^{-1}B+I-(A+B)^{-1}B=I$ برای اثبات قسمت دوم جای A و B را عوض می کنیم.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...