اگر جمع دو ماتریس مربعی وارونپذیر شود، آنگاه آیا رابطهٔ $(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A$ درست است؟

Question

دو ماتریس‌ مربعی $A$ و $B$ را در نظر بگیرید. با فرض وارون‌پذیر بودن $A+B$ ثابت کنید که

$$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A$$

Comments

@Hamid1234 چرا نتوانستید تایپ کنید؟ سایر کاربرها هم فرمول‌های ریاضی‌شان را تایپ می‌کنند! برای اینکه به پرسش‌تان ارزش گذاشته شود ابتدا باید خودتان برایش ارزش قائل شوید. لطفا پست مربوط به تایپ ریاضی را بخوانید، چند لحظه وقت گذاشتن باعث می‌شود که زمان بیشتری را در آینده برایتان جبران خواهد کرد.
https://math.irancircle.com/56
من این بار برایتان متن پرسش‌تان را ویرایش کردم.

Answer 1

بنام خدا.داریم $(A+B) (A+B)^{-1}=I \Rightarrow A (A+B)^{-1} +B (A+B)^{-1} =I \Rightarrow$

$\bbox[5px,border:2px solid red] { A (A+B)^{-1} =I-B (A+B)^{-1} \qquad (1) }$

حال ثابت می کنیم$A (A+B)^{-1}B$ معکوس ماتریس $( A^{-1} + B^{-1} )$ می باشد.

$( A^{-1} + B^{-1})A (A+B)^{-1}B= A^{-1} A (A+B)^{-1}B+ B^{-1} A (A+B)^{-1}B$

$I (A+B)^{-1}B+B^{-1} A (A+B)^{-1}B$

حال اگر بجای $A (A+B)^{-1}$از رابطه (1)در کادر بالا مساوی آن را قرار دهیم داریم

$(A+B)^{-1}B+ B^{-1}( I-B (A+B)^{-1})B=$

$(A+B)^{-1}B+(B^{-1}-I (A+B)^{-1})B$

$(A+B)^{-1}B+I-(A+B)^{-1}B=I$ برای اثبات قسمت دوم جای A و B را عوض می کنیم.