بنام خدا.داریم $ (A+B) (A+B)^{-1}=I \Rightarrow A (A+B)^{-1} +B (A+B)^{-1} =I \Rightarrow $
$ \bbox[5px,border:2px solid red]
{
A (A+B)^{-1} =I-B (A+B)^{-1}
\qquad (1)
}
$
حال ثابت می کنیم$A (A+B)^{-1}B $ معکوس ماتریس $( A^{-1} + B^{-1} )$ می باشد.
$( A^{-1} + B^{-1})A (A+B)^{-1}B= A^{-1} A (A+B)^{-1}B+ B^{-1} A (A+B)^{-1}B$
$I (A+B)^{-1}B+B^{-1} A (A+B)^{-1}B$
حال اگر بجای $A (A+B)^{-1}$از رابطه (1)در کادر بالا مساوی آن را قرار دهیم داریم
$ (A+B)^{-1}B+ B^{-1}( I-B (A+B)^{-1})B=$
$(A+B)^{-1}B+(B^{-1}-I (A+B)^{-1})B$
$(A+B)^{-1}B+I-(A+B)^{-1}B=I$ برای اثبات قسمت دوم جای A و B را عوض می کنیم.
