ثابت کنید مقدار ویژههای وارون یک ماتریسِ وارونپذیر برابر با وارون مقدار ویژههای آن ماتریس میشوند.

Question

ثابت کنید اگر $l$ مقدار ویژه یک ماتریس باشد، معکوس آن مقدار ویژهٔ وارون ماتریس است. یعنی اگر $l$ را مقدار ویژه ماتریس $A$ در نظر بگیریم باید اثبات کنیم که معکوسِ $l$ مقدار ویژهٔ $A^{-1}$ می‌باشد.

Comments

@Zahrakrami آیا در کتاب‌های جبرخطی جستجو کرده‌اید؟ برایتان پست را ویرایش کردم، برای تایپ ریاضی به پست زیر نگاه کنید
https://math.irancircle.com/56

Answer 1

فرض کنید $A$ یک ماتریس مربعی از مرتبهٔ $n$ است که وارون‌پذیر است. ماتریس همانی از مرتبهٔ $n$ را با $I$ نمایش دهید. به فرض $\lambda\neq 0$ یک مقدار ویژه برای $A$ باشد. پس یک بردارِ $n$تایی مخالف بردار صفر مانند $x$ وجود دارد که $Ax=\lambda x$. پس

$$\begin{align} Ax=\lambda x &\Longleftrightarrow A^{-1}(Ax)=A^{-1}(\lambda x)\\ &\Longleftrightarrow (A^{-1}A)x=\lambda(A^{-1}x)\\ &\Longleftrightarrow Ix=\lambda(A^{-1}x)\\ &\Longleftrightarrow x=\lambda(A^{-1}x)\\ &\Longleftrightarrow \frac{1}{\lambda}x=\frac{1}{\lambda}\big(\lambda(A^{-1}x)\big)\\ &\Longleftrightarrow \frac{1}{\lambda}x=(\frac{1}{\lambda}\lambda)(A^{-1}x)\\ &\Longleftrightarrow A^{-1}x=\frac{1}{\lambda}x \end{align}$$

توجه کنید که از ناصفر بودن $\lambda$ برای وجود وارونش یعنی $\frac{1}{\lambda}$ استفاده شده است. خط آخر شرطِ مقدارویژه‌بودنِ $\frac{1}{\lambda}$ برای $A^{-1}$ است.

اینکه مقدار ویژه‌های یک ماتریسِ وارون‌پذیر ناصفر هستند یک گزاره‌است که به عنوان تمرین ساده به خودتان واگذار می‌کنم.