ایا ماتریسی وجود دارد که هیچ مقدار ویژه ای نداشته باشد؟

Question

آیا ماتریسی وجود دارد که هیچ مقدار ویژه‌ای نداشته باشد؟

Comments

@kazomano کتاب Linear Algebra done right نوشتهٔ Sheldon Axler ویرایش دوم در فصل ۵ شمارهٔ ۲۱ (صفحهٔ ۸۹)، گزاره است نه قضیه (proposition)، و در مورد شرایط هم‌ارز با قطری‌شدنی است که ۵ بند دارد و نمی‌گوید هر ماتریسی روی هر میدانی حتما دارای مقدار ویژه خواهد بود.

اگر هم منظورتان قضیهٔ ۱۰ همان فصل است، متن دقیق قضیه این است «هر عملگر روی یک فضای برداری مختلط ناصفر متناهی‌بعد، دارای مقدار ویژه است» که دقیقا واژهٔ «مختلط» را آورده‌است.

---

@AmirHosein احتمالا چاپ قدیم رو نگاه کردین. به آخرین نسخه کتاب ارجاع دادم که در اونجا عناوین گزاره و قضیه وجود نداره. اون اثبات برای عملگر بود که در اونجا اومده و به مختلط اشاره کرده. ولی وقتی در مورد ماتریس این سوال مطرح میشه دیگه معمولا این مختلط رو ذکر نمیکنن مثلا قضیه 4.4.2 کتاب A Modern Introduction to
Linear Algebra نوشته HENRY RICARDO رو ببینید.
@erfan013 دو مرجع عالی برای جبرخطی اینجا معرفی شد که میتونید از اونها بهره ببرید.

---

@kazomano ویرایش سوم کتاب را فردا نگاه می‌کنم. یک ماتریس مربعی یا یک عملگر (تبدیل خطی از یک فضا به خودش) با نمایش ماتریسیِ برابر با آن دارای مقدار ویژه‌های یکسانی هستند بنابرای برای عملگر یا برای ماتریس مربعی، قضیه تفاوتی نخواهد کرد. در هر دو صورت داشتن یا نداشتن مقدار ویژه به میدانی که روی آن در نظر می‌گیرید وابسته است. در پاسخ زیر هم به طور صریح یک مثال آورده‌ایم که روی میدان اعداد حقیقی دارای هیچ مقدار ویژه‌ای نیست. اگر هم جایی بدون اشاره به میدان (مثلا میدان اعداد مختلط) چیزی گفته‌باشند پیش از آن احتمالا گفته‌اند که به یک میدان بستهٔ جبری یا یک میدان خاصی مطالب محدود شده‌اند.

در مورد کتاب a modern introduction to linear algebra در Google book شمارهٔ ۴.۴.۲ را جستجو کردم
https://books.google.dk/books?id=s7bMBQAAQBAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q=4.4.2&f=false
از صفحهٔ ۲۹۴ پاراگرافی با شمارهٔ ۴.۴.۲ می‌آورد که تعریفِ مقدار و بردار ویژه است. باز فردا اگر خود کتاب را یافتم دوباره چک می‌کنم.

---

@kazomano ویرایش سوم کتاب Linear Algebra done right را هم‌اکنون نگاه کردم گزارهٔ ۵.۲۱ همان متنی را دارد که قضیهٔ ۱۰ فصل ۵ ویرایش دوم دارد و «مختلط» ذکر شده‌است.

---

@AmirHosein  بنابراین ارجاع من درست بود. جالبه امروز به طور اتفاقی متوجه شدم این کتاب ارزشمند توسط انتشارات فاطمی ترجمه شده ولی مترجم اسم کتاب رو فقط جبرخطی معنا کرده و done right رو ترجمه نکرده.
مثالتون و ذکر مختلط بودن میدان درسته. نسخه ماتریسی اون قضیه هم در کتابی که در کامنت قبلی گفتم وجود داره و تو سرچ گوگل بوک شما هم تو تو آخرین بخشش هست. عموما میدان رو مختلط درنظر میگیرن چون از ابتدا مقادیر ویژه مختلط براشون اهمیت داره.

Answer 1

بستگی به میدانی دارد که روی آن کار می‌کنید. اگر میدان اعداد مختلط را در نظر بگیرید چون همهٔ چندجمله‌ای‌های با ضرایب مختلط (و در نتیجه حقیقی) روی آن شکافته می‌شوند هر ماتریسی با درایه‌های مختلط (و در نتیجه حقیقی) رو میدان اعداد مختلط مقدار ویژه دارد. اما اگر روی میدان اعداد حقیقی در نظر بگیرید آنگاه ماتریس زیر

$$\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{bmatrix}$$ دارای هیچ مقدار ویژهٔ حقیقی‌ای نیست.