اول بیایید دو تعریف را یادآوری کنیم.
تعریف : یک ماتریس
$A$
را هرمیتی گوییم، اگر مزدوج متقارن باشد یعنی اگر داشته باشیم
$A^{\ast}=A$.
تعریف: یک ماتریس
$B$
را مثبت معین گوییم اگر به هر
$x\in \mathbb{C}^{n}$
داشته باشیم
$x^{\ast}Ax\geq 0$.
حال برای حل سوال توجه کنید که چون
$B$
یک ماتریس مثبتمعین است، ماتریس
$R$
ای وجود دارد که
$B=RR^{\ast}$
(این را میتوان در کتابهای آنالیز تابعی، جبر خطی، و یا ویکیپدیا پیدا کرد). اینک
بیایید فرض کنیم که
$\lambda$
مقدار ویژه برای
$AB=ARR^{\ast}$
باشد، میتوان دید که
$\lambda$
مقدار ویژه ماتریس
$R^{\ast}AR$
نیز میباشد (ثابت کنید). چون
$(R^{\ast}AR)^{\ast}=R^{\ast}A^{\ast}(R^{\ast})^{\ast}=R^{\ast}AR$
، نتیجه میگیریم که
$\lambda$
عدد حقیقی است، زیرا مقدار ویژه یک ماتریس هرمیتی میباشد.
