نشان دهید مقدار ویژه های ماتریس $AB$ که $A$ و $B$ هرمیتی و $B$ مثبت معین است، حقیقی هستند.

Question

فرض کنید $A$ و $B$ ماتریس‌هایی هرمیتی باشند و همچنین ماتریس $B$ مثبت‌معین باشد. نشان دهید مقادیر ویژه ماتریس $AB$ حقیقی هستند.

Comments

@parisaoatovari عنوان پرسش با اسم درس فرق دارد! پست زیر را بخوانید. برای پرسش‌های پسین‌تان عنوان را مناسب بنویسید. برای نمونه عنوان خودتان «روش‌های عددی در جبرخطی، ماتریس هرمیت» را با عنوان جدیدی که برایتان ویرایش کردم مقایسه کنید. بعلاوه همیشه در متن پرسش به تلاش و فکر خودتان اشاره کنید.
https://math.irancircle.com/11973

Answer 1

اول بیایید دو تعریف را یادآوری کنیم.

تعریف : یک ماتریس $A$ را هرمیتی گوییم، اگر مزدوج متقارن باشد یعنی اگر داشته باشیم $A^{\ast}=A$.

تعریف: یک ماتریس $B$ را مثبت معین گوییم اگر به هر $x\in \mathbb{C}^{n}$ داشته باشیم $x^{\ast}Ax\geq 0$.

حال برای حل سوال توجه کنید که چون $B$ یک ماتریس مثبت‌معین است، ماتریس $R$ ای وجود دارد که $B=RR^{\ast}$ (این را می‌توان در کتاب‌های آنالیز تابعی، جبر خطی، و یا ویکیپدیا پیدا کرد). اینک بیایید فرض کنیم که $\lambda$ مقدار ویژه برای $AB=ARR^{\ast}$ باشد، می‌توان دید که $\lambda$ مقدار ویژه ماتریس $R^{\ast}AR$ نیز می‌باشد (ثابت کنید). چون $(R^{\ast}AR)^{\ast}=R^{\ast}A^{\ast}(R^{\ast})^{\ast}=R^{\ast}AR$ ، نتیجه می‌گیریم که $\lambda$ عدد حقیقی است، زیرا مقدار ویژه یک ماتریس‌ هرمیتی می‌باشد.