حل الف:
ماتریس$A$ را متقارن گوییم هرگاه $ a_{ij} = a_{ji} $
حال فرض کنید $ A=(a_{ij} )$ و $B=(b_{ij}) $ و $A+B=(c_{ij}) =(a_{ij}+b_{ij}) $ طبق فرض از متقارن بودن $A $ و $ B $ داریم:$ a_{ij} = a_{ji} $ و$ b_{ij} = b_{ji} $
اگر نشان دهیم که $ c_{ij} = c_{ji} $ متقارن بودن ثابت می شود. داریم $c_{ij} =a_{ij}+b_{ij}$ و طبق فرض متقارن بودن داریم: $c_{ij} =a_{ij}+b_{ij}=a_{ji} +b_{ji} =c_{ji} $
حال اثبات مثبت معین بودن فرض کنید که $x $ برادار دلخواهی باشد چون طبق فرض $A $ و $ B $ معین مثبت هستند لذا $xA x^{T} >0 $و$xB x^{T} >0 $ است
برای اینکه $ A+B $ مثبت معین باشد باید $ x(A+B) x^{T}>0$ اما داریم :
$$x(A+B) x^{T}=(xA+xB) x^{T}=xA x^{T} +xB x^{T} $$
و لذا حکم ثابت شد.
حل ب:
فرض $ x $ بردار دلخواه داده شده باشد باید نشان دهیم $x A^{-1} x^{T} >0 $ است. برای این کار قرار می دهیم $xA^{-1}=y $ لذا $x=yA$ واز آنجایی که $ A $ مثبت معین است پس $A^{T}$ هم مثبت معین است برای این بردار داریم $yA^{T}y^{T}>0 $ اما داریم:
$$x A^{-1} x^{T} =yAA^{-1} (yA)^{T}=yAA^{-1} A^{T}y^{T}=yA^{T}y^{T}$$
روش دوم استفاده از مقادیر ویژه است. چون $ A $ مثبت معین است لذا تمام مقادیر ویژه آن مثبت هستند مقادیر ویژه ی ماتریس $ A^{-1}$ دقیقا معکوس مقادیر ویژه ی $ A $ هستند لذا آنها نیز مثبت هستندپس ماتریس معین مثبت است.
حل ج:
کافیست دقت کنید که اولا از آنجایی که $ B $ معین مثبت است برای هر بردار $x $ داریم:$xB x^{T} >0$
و برای اینکه $ \lambda B $ معین مثبت باشد باید $x \lambda B x^{T} >0$ باشد اما داریم $x \lambda B x^{T} = \lambda xB x^{T} >0$ پس باید $ \lambda >0$ باشد.
تکمیل اثبات قسمت دوم:
رابطه ی $ {A^{T}}^{-1}={A^{-1}}^{T} $ را داریم(اثبات این رابطه در آخر)
$${A^{-1}}^{T}={A^{T}}^{-1}={A}^{-1}$$ لذا حکم ثابت می شود.
اثبات رابطه ی مورد استفاده:
می دانیم $A^{-1}A=I$ که در آن $ I $ ماتریس همانی است. داریم:
$I =I^{T}={A^{-1}A}^{T}=A^{T}{A^{-1}}^{T} $
بطورمشابه ${A^{-1}}^{T}A^{T}=I $ پس وارون $A^{T}$ برابر است با ${A^{-1}}^{T} $ و حکم ثابت شد.
