ماتریس های $A$ و $B$ متقارن و معین مثبت هستند در موردجمع و یا وارون آنها چه می توان گفت.

Question

ماتریس های $A$ و$B$ متقارن و معین مثبت هستند (مرتبه $A$ و$B$ یکسان هستند)

الف: ثابت کنید $A+B$ متقارن و معین مثبت است.

ب: $A^{-1}$ متقارن و معین مثبت است.

پ: در مورد $\lambda B$ چه میتوان گفت؟($\lambda$) عدد حقیقی است

Answer 1

حل الف:

ماتریس$A$ را متقارن گوییم هرگاه $a_{ij} = a_{ji}$

حال فرض کنید $A=(a_{ij} )$ و $B=(b_{ij})$ و $A+B=(c_{ij}) =(a_{ij}+b_{ij})$ طبق فرض از متقارن بودن $A$ و $B$ داریم:$a_{ij} = a_{ji}$ و$b_{ij} = b_{ji}$

اگر نشان دهیم که $c_{ij} = c_{ji}$ متقارن بودن ثابت می شود. داریم $c_{ij} =a_{ij}+b_{ij}$ و طبق فرض متقارن بودن داریم: $c_{ij} =a_{ij}+b_{ij}=a_{ji} +b_{ji} =c_{ji}$

حال اثبات مثبت معین بودن فرض کنید که $x$ برادار دلخواهی باشد چون طبق فرض $A$ و $B$ معین مثبت هستند لذا $xA x^{T} >0$و$xB x^{T} >0$ است

برای اینکه $A+B$ مثبت معین باشد باید $x(A+B) x^{T}>0$ اما داریم :

$$x(A+B) x^{T}=(xA+xB) x^{T}=xA x^{T} +xB x^{T}$$ و لذا حکم ثابت شد.

حل ب:

فرض $x$ بردار دلخواه داده شده باشد باید نشان دهیم $x A^{-1} x^{T} >0$ است. برای این کار قرار می دهیم $xA^{-1}=y$ لذا $x=yA$ واز آنجایی که $A$ مثبت معین است پس $A^{T}$ هم مثبت معین است برای این بردار داریم $yA^{T}y^{T}>0$ اما داریم:

$$x A^{-1} x^{T} =yAA^{-1} (yA)^{T}=yAA^{-1} A^{T}y^{T}=yA^{T}y^{T}$$

روش دوم استفاده از مقادیر ویژه است. چون $A$ مثبت معین است لذا تمام مقادیر ویژه آن مثبت هستند مقادیر ویژه ی ماتریس $A^{-1}$ دقیقا معکوس مقادیر ویژه ی $A$ هستند لذا آنها نیز مثبت هستندپس ماتریس معین مثبت است.

حل ج:

کافیست دقت کنید که اولا از آنجایی که $B$ معین مثبت است برای هر بردار $x$ داریم:$xB x^{T} >0$ و برای اینکه $\lambda B$ معین مثبت باشد باید $x \lambda B x^{T} >0$ باشد اما داریم $x \lambda B x^{T} = \lambda xB x^{T} >0$ پس باید $\lambda >0$ باشد.

---

تکمیل اثبات قسمت دوم: رابطه ی ${A^{T}}^{-1}={A^{-1}}^{T}$ را داریم(اثبات این رابطه در آخر)

$${A^{-1}}^{T}={A^{T}}^{-1}={A}^{-1}$$ لذا حکم ثابت می شود.

اثبات رابطه ی مورد استفاده:

می دانیم $A^{-1}A=I$ که در آن $I$ ماتریس همانی است. داریم: $I =I^{T}={A^{-1}A}^{T}=A^{T}{A^{-1}}^{T}$

بطورمشابه ${A^{-1}}^{T}A^{T}=I$ پس وارون $A^{T}$ برابر است با ${A^{-1}}^{T}$ و حکم ثابت شد.

Comments

صرفا برای آن دسته از دوستان که ممکن است ناآشنا باشند اضافه کنم که یک ماتریس مثبت‌معین است اگر و تنها اگر قسمت متقارن (در حالت مختلط، هرمیتی)اش تمام مقادیر ویژه‌اش مثبت باشند. در اینجا چون آقای @erfanm ابتدا متقارن بودن وارون ماتریس را اشاره کرده‌اند پس این ماتریس قسمت متقارنش خودش می‌شود و در نتیجه اینکه نشان دهد تمام مقادیر ویژه‌اش مثبت هستند کار را تمام می‌کند. ولی بدون متقارن بودن، فقط با نشان دادن مثبت بودن مقدار ویژه‌ها مثبت‌معین بودن نتیجه نمی‌شود. برای مثال نقض ماتریس سوم در این پاسخ در این سایت را نگاه کنید
http://math.irancircle.com/5031/%D8%B6%D8%B1%D8%A8-%D8%AF%D9%88-%D9%85%D8%A7%D8%AA%D8%B1%DB%8C%D8%B3-%D9%85%D8%AB%D8%A8%D8%AA-%D9%85%D8%B9%DB%8C%D9%86
هر دو مقدار ویژه‌اش مثبت هستند ولی با امتحان کردن بردار $x=(1,0)$ می‌بینید که مثبت‌معین نیست.

---

مشکلم اینه که جمله" قسمت متقارن/هرمیتی ماتریس" متوجه نمیشم. یعنی قسمتی از ماتریس که متقارنه ازش جدا بشه بعد مقادیر ویژه اش محاسبه بشه؟؟؟؟؟؟

---

@kazomano یک ماتریس را می‌توانیم به جمع قسمت متقارن و پادمتقارنش تجزیه کنیم. به شکل زیر:
$A=\frac{1}{2}(A+A^t)+\frac{1}{2}(A-A^t)$
به سادگی می‌توانید ببینید که قسمت نخست متقارن است و قسمت دوم پادمتقارن. برای هرمیتی نیز تجزیهٔ مشابهی تعریف می‌شود. اینکه قسمت متقارن یک ماتریس همهٔ مقدارویژه‌هایش مثبت باشند یعنی $\frac{1}{2}(A+A^t)$ تمام مقدارویژه‌هایش مثبت باشند. روی دادن این، هم‌ارز با مثبت‌معین بودن ماتریس $A$ است. هنگامی‌که $A$ متقارن باشد قسمت متقارن تجزیه‌اش برابر با خودش می‌شود و قسمت پادمتقارنش صفر می‌شود. چون قسمت متقارن ماتریس متقارن خودش است، در این حالت شرط گزاره به اینکه مقدارویژه‌های خود ماتریس مثبت باشند ساده می‌شود.