ماتریس متقارن A معین مثبت است اگر و تنها اگر دترمینان تمامی زیر ماتریس های پیشرویA مثبت باشد.

Question

لطفاً درصورت امکان ثابت کنید:

ماتریس متقارن $A$ معین مثبت است اگر و تنها اگر دترمینان تمامی زیر ماتریس های پیشروی$A$ مثبت باشد.

Comments

فکر کنم باید ماتریس معین مثبت اکید باشند؟

Answer 1

میدانیم که ماتریس متقارن مثبت معین مقادیر ویژه مثبتی دارند. از طرفی هم میدانیم که دترمینان یک ماتریس برابر ضرب مقادیر ویژه ماتریس است. پس تا اینجا مطمین هستیم که دترمینان ماتریس اصلی ما که nn فرض شده مثبت است. حال از آنجا که A ماتریس مثبت معین است پس برای هر بردار دلخواهی داریم: $x^TAx > 0$ حال اگر بردار دلخواه x را که n1 است ، تنها k مولفه اولش را آزاد بگذارم و n-k مولفه باقیمانده را صفر بگذارم، در هنگام ضرب $x^TAx > 0$ در میابیم که از ماتریس A تنها ماتریسی با ابعاد k*k در گوشه بالای سمت چپ شرکت میکند که از آنجا که این x دلخواه است و از قبل میدانستم جواب مثبت است پس به این نتییجه میرسم که این ماتریس هم مثبت معین است فلذا باز از این نکته که تمام مقادیر ویژه آن مثبت است به این نتیجه میرسم که دترمینان این ماتریس هم مثبت است چرا که دترمینان ضرب مقادیر ویژه است.