اگر همه مقادیر ویژه ماتریسی متقارن مثبت باشد آن ماتریس معین مثبت است.

Question

اگر همه مقادیر ویژه ماتریسی متقارنی، مثبت باشند آن ماتریس معین مثبت است.

Comments

چنین چیزی درست نیست مثلا ماتریس $\begin{bmatrix}1 & 2 \\0 & 1 \end{bmatrix}$دارای دو مقدار ویژه مثبت است اما مثبت معین نیست

---

درسته حق با شماست

---

@erfanm
البته شما در این سوال گفتید که "اما مقادیر ویژه مثبت هستند اگروتنها اگر ماتریس معین مثبت باشد"
$http://math.irancircle.com/2216/%D9%85%D9%82%D8%A7%D8%AF%DB%8C%D8%B1-%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87$

---

در اون سوال (بطور ضمنی بحث از ماتریس های متقارن یا هرمیتی بوده) شرط متقارن بودن رو لازم داره الان اصلاحش میکنم

---

@erfanm
میشه با فرض متقارن بودن اثباتش کرد؟
من الان این فرض رو بش اضافه میکنم

Answer 1

از آنجایی که هر ماتریس متقارن دارای بردارهای ویژه ی متعامد به عنوان پایه است پس هر بردار ناصفر مانند $x$ را می توان بصورت ترکیب خطی از این عناصر بنویسیم فرض کنید داشته باشیم:

$$x= a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n}$$ پس داریم: $$x^{T} Ax= (a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n})^{T}A(a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n})=$$ $$(a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n})^{T}(a_{1} A v_{1} + a_{2} Av_{2} +...+ a_{n} Av_{n})=$$ $$(a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n})^{T}(a_{1} \lambda _{1} v_{1} + a_{2} \lambda _{2} v_{2} +...+ a_{n} \lambda _{n} v_{n})=$$ $$\sum \lambda _{i} a_{1}^{2} > 0$$

چون $v_{i}$ ها متعامد هستند لذا $v_{i} ^{T} v_{j} = \delta _{ij}$

Comments

@erfanm
امکان داره با شرط متمایز و مثبت بودن مقادیر ویژه‌ها باز ماتریس معین مثبت باشه؟

---

@wahedmohammadi
اگر مقادیر ویژه متمایز باشند آنگاه ماتریس قطری شدنی است و پایه ای از  بردارهای ویژه که متعامد هستند نیز وجود دارد.و همین اثبات رو میتوان بکار برد.