به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
6,747 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

اگر همه مقادیر ویژه ماتریسی متقارنی، مثبت باشند آن ماتریس معین مثبت است.

دارای دیدگاه توسط
+1
چنین چیزی درست نیست مثلا ماتریس $ \begin{bmatrix}1 & 2 \\0 & 1 \end{bmatrix} $دارای دو مقدار ویژه مثبت است اما مثبت معین نیست
دارای دیدگاه توسط
+2
درسته حق با شماست
دارای دیدگاه توسط
+2
@erfanm
البته شما در این سوال گفتید که "اما مقادیر ویژه مثبت هستند اگروتنها اگر ماتریس معین مثبت باشد"
$http://math.irancircle.com/2216/%D9%85%D9%82%D8%A7%D8%AF%DB%8C%D8%B1-%D9%88%DB%8C%DA%98%D9%87$
دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
+1
در اون سوال (بطور ضمنی بحث از ماتریس های متقارن یا هرمیتی بوده) شرط متقارن بودن رو لازم داره الان اصلاحش میکنم
دارای دیدگاه توسط
+1
@erfanm
میشه با فرض متقارن بودن اثباتش کرد؟
من الان این فرض رو بش اضافه میکنم

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

از آنجایی که هر ماتریس متقارن دارای بردارهای ویژه ی متعامد به عنوان پایه است پس هر بردار ناصفر مانند $ x$ را می توان بصورت ترکیب خطی از این عناصر بنویسیم فرض کنید داشته باشیم: $$x= a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n} $$ پس داریم: $$ x^{T} Ax= (a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n})^{T}A(a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n})= $$ $$(a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n})^{T}(a_{1} A v_{1} + a_{2} Av_{2} +...+ a_{n} Av_{n})=$$ $$(a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} +...+ a_{n} v_{n})^{T}(a_{1} \lambda _{1} v_{1} + a_{2} \lambda _{2} v_{2} +...+ a_{n} \lambda _{n} v_{n})=$$ $$ \sum \lambda _{i} a_{1}^{2} > 0$$

چون $ v_{i} $ ها متعامد هستند لذا $ v_{i} ^{T} v_{j} = \delta _{ij} $

دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
+1
@erfanm
امکان داره با شرط متمایز و مثبت بودن مقادیر ویژه‌ها باز ماتریس معین مثبت باشه؟
دارای دیدگاه توسط
@wahedmohammadi
اگر مقادیر ویژه متمایز باشند آنگاه ماتریس قطری شدنی است و پایه ای از  بردارهای ویژه که متعامد هستند نیز وجود دارد.و همین اثبات رو میتوان بکار برد.
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

هرماتریس معین مثبتی،مقادیر ویژه ی مثبتی و هر ماتریس معین منفی مقادیر ویژه منفی و صفرداردو برعکس آن لزوما برقرارنیس.وشرط معین و مثبت بودن ماتریس وجود زیرماتریس های مثبت هست.والسلام

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...