به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
207 بازدید
در دانشگاه توسط saragol

سلام. اگر بدانیم یک ماتریس مثبت معین است آیا میتوان ناتکین بودن آنرا ثابت کرد؟

1 پاسخ

+4 امتیاز
توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط saragol
 
بهترین پاسخ

به یاد آورید که در درس جبرخطی چندین شرط هم‌ارز برای وارون‌پذیری یک ماتریس آموختید. یکی از این شرط‌ها این بود که ماتریس $A$ وارون‌پذیر است اگر و تنها اگر برای هر بردار ناصفر $v$، حاصل $Av$ ناصفر شود. به عبارت دیگر معادلهٔ $Av=0$ تنها یک پاسخ بدیهی یعنی خود بردار صفر را داشته‌باشد. اکنون تعریف مثبت‌معین بودن باید سریع ذهن شما را به یاد این شرط نیز بیندازد. یک ماتریس مثبت‌معین است هر گاه برای هر بردار ناصفر $v$ حاصل $v^tAv$ که یک عدد است، عددی مثبت شود. اگر بر فرض خلف، بردار ناصفری وجود داشته باشد که $Av=0$ آنگاه همان بردار را در رابطهٔ تعریف مثبت‌معین بودن قرار دهید. خواهید داشت: $$v^tAv=v^t(Av)=v^t(0)=0$$ که تناقض با مثبت‌معین بودن ماتریس‌مان دارد. پس فرض خلف باطل و ماتریس‌مان وارون‌پذیر است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...