رابطه میان معین مثبت بودن یک ماتریس و ناتکین بودن آن

Question

سلام. اگر بدانیم یک ماتریس مثبت معین است آیا میتوان ناتکین بودن آنرا ثابت کرد؟

Answer 1

به یاد آورید که در درس جبرخطی چندین شرط هم‌ارز برای وارون‌پذیری یک ماتریس آموختید. یکی از این شرط‌ها این بود که ماتریس $A$ وارون‌پذیر است اگر و تنها اگر برای هر بردار ناصفر $v$، حاصل $Av$ ناصفر شود. به عبارت دیگر معادلهٔ $Av=0$ تنها یک پاسخ بدیهی یعنی خود بردار صفر را داشته‌باشد. اکنون تعریف مثبت‌معین بودن باید سریع ذهن شما را به یاد این شرط نیز بیندازد. یک ماتریس مثبت‌معین است هر گاه برای هر بردار ناصفر $v$ حاصل $v^tAv$ که یک عدد است، عددی مثبت شود. اگر بر فرض خلف، بردار ناصفری وجود داشته باشد که $Av=0$ آنگاه همان بردار را در رابطهٔ تعریف مثبت‌معین بودن قرار دهید. خواهید داشت: $$v^tAv=v^t(Av)=v^t(0)=0$$ که تناقض با مثبت‌معین بودن ماتریس‌مان دارد. پس فرض خلف باطل و ماتریس‌مان وارون‌پذیر است.