به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
997 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

اگر ماتریس $A$ معین مثبت باشد آن‌گاه برای هر $i\neq j$ داریم:

$A_{ii}A_{jj}-A_{ij}^2\geq0$

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

برای هر $ i \neq j $ ماتریس $ \begin{bmatrix} a_{ii} & a_{ij} \\a_{ji} & a_{jj} \end{bmatrix} $ یک ماتریس اصلی از ماتریس $ A$ است طبق قضیه داریم این ماتریس ها هم مثبت معین خواهند بود لذا دارای مقادیر ویژه ی مثبت هستند و از آنجایی که$det= \prod \lambda _{i} $ لذا دترمینان آنها مثبت است یعنی

$0 \leq a_{ii} a_{jj} -a_{ij}a_{ji}$ اما در ماتریس های متقارن داریم $a_{ji}= \overline{a_{ij}} $ که با جایگذاری واینکه $a_{ij} \overline{a_{ij}} ={ \mid a_{ij} \mid }^{2} $ خواهیم داشت: $0 \leq a_{ii} a_{jj} -{ \mid a_{ij} \mid }^{2} $ وحکم ثابت شد.

دارای دیدگاه توسط
+1
@ermanm
یعنی منظورتون این است که اگر هر ماتریس دلخواهی از دل یک ماتریس معین مثبت بیرون بکشیم باز معین مثبت است؟
میشه اون قضیه  رو بیان کنید؟
با تشکر
دارای دیدگاه توسط
خیر چنین نیست باید ماتریس اصلی باشد یعنی اگر سطرهای $ i_{1} $ تا$ i_{t} $ را انتخاب کردیم باید دقیقا همون ستون هارو در نظر بگیریم اثباتش هم سخت نیست ایده اش اینجوریه که اگر ماتریس اولیه را $A$ و ماتریس اصلی انتخاب شده را $B$ در نظر بگیریم و بخواهیم معین مثبت بودن این ماتریس را با بردار $Y$ امتحان کنیم ابتدا بجای سطرهای حذف شده صفر قرار میدهیم تا برداری مناسب $A$ بدست آید و معین مثبت بودن $A$ با این بردار جدید معادل معین مثبت بودن $B$ با بردار $Y$ است.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...