ماتریس معین مثبت

Question

اگر ماتریس $A$ معین مثبت باشد آن‌گاه برای هر $i\neq j$ داریم:

$A_{ii}A_{jj}-A_{ij}^2\geq0$

Answer 1

برای هر $ i \neq j $ ماتریس $ \begin{bmatrix} a_{ii} & a_{ij} \\a_{ji} & a_{jj} \end{bmatrix} $ یک ماتریس اصلی از ماتریس $ A$ است طبق قضیه داریم این ماتریس ها هم مثبت معین خواهند بود لذا دارای مقادیر ویژه ی مثبت هستند و از آنجایی که$det= \prod \lambda _{i} $ لذا دترمینان آنها مثبت است یعنی

$0 \leq a_{ii} a_{jj} -a_{ij}a_{ji}$ اما در ماتریس های متقارن داریم $a_{ji}= \overline{a_{ij}} $ که با جایگذاری واینکه $a_{ij} \overline{a_{ij}} ={ \mid a_{ij} \mid }^{2} $ خواهیم داشت: $0 \leq a_{ii} a_{jj} -{ \mid a_{ij} \mid }^{2} $ وحکم ثابت شد.

Comments

@ermanm
یعنی منظورتون این است که اگر هر ماتریس دلخواهی از دل یک ماتریس معین مثبت بیرون بکشیم باز معین مثبت است؟
میشه اون قضیه  رو بیان کنید؟
با تشکر

---

خیر چنین نیست باید ماتریس اصلی باشد یعنی اگر سطرهای $ i_{1} $ تا$ i_{t} $ را انتخاب کردیم باید دقیقا همون ستون هارو در نظر بگیریم اثباتش هم سخت نیست ایده اش اینجوریه که اگر ماتریس اولیه را $A$ و ماتریس اصلی انتخاب شده را $B$ در نظر بگیریم و بخواهیم معین مثبت بودن این ماتریس را با بردار $Y$ امتحان کنیم ابتدا بجای سطرهای حذف شده صفر قرار میدهیم تا برداری مناسب $A$ بدست آید و معین مثبت بودن $A$ با این بردار جدید معادل معین مثبت بودن $B$ با بردار $Y$ است.