به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
2,892 بازدید
در دانشگاه توسط reza91 (97 امتیاز)

اگر ماتریس $A$ معین مثبت باشد آن‌گاه برای هر $i\neq j$ داریم:

$A_{ii}A_{jj}-A_{ij}^2\geq0$

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط erfanm (13,856 امتیاز)
انتخاب شده توسط reza91
 
بهترین پاسخ

برای هر $ i \neq j $ ماتریس $ \begin{bmatrix} a_{ii} & a_{ij} \\a_{ji} & a_{jj} \end{bmatrix} $ یک ماتریس اصلی از ماتریس $ A$ است طبق قضیه داریم این ماتریس ها هم مثبت معین خواهند بود لذا دارای مقادیر ویژه ی مثبت هستند و از آنجایی که$det= \prod \lambda _{i} $ لذا دترمینان آنها مثبت است یعنی

$0 \leq a_{ii} a_{jj} -a_{ij}a_{ji}$ اما در ماتریس های متقارن داریم $a_{ji}= \overline{a_{ij}} $ که با جایگذاری واینکه $a_{ij} \overline{a_{ij}} ={ \mid a_{ij} \mid }^{2} $ خواهیم داشت: $0 \leq a_{ii} a_{jj} -{ \mid a_{ij} \mid }^{2} $ وحکم ثابت شد.

توسط reza91 (97 امتیاز)
+1
@ermanm
یعنی منظورتون این است که اگر هر ماتریس دلخواهی از دل یک ماتریس معین مثبت بیرون بکشیم باز معین مثبت است؟
میشه اون قضیه  رو بیان کنید؟
با تشکر
توسط erfanm (13,856 امتیاز)
خیر چنین نیست باید ماتریس اصلی باشد یعنی اگر سطرهای $ i_{1} $ تا$ i_{t} $ را انتخاب کردیم باید دقیقا همون ستون هارو در نظر بگیریم اثباتش هم سخت نیست ایده اش اینجوریه که اگر ماتریس اولیه را $A$ و ماتریس اصلی انتخاب شده را $B$ در نظر بگیریم و بخواهیم معین مثبت بودن این ماتریس را با بردار $Y$ امتحان کنیم ابتدا بجای سطرهای حذف شده صفر قرار میدهیم تا برداری مناسب $A$ بدست آید و معین مثبت بودن $A$ با این بردار جدید معادل معین مثبت بودن $B$ با بردار $Y$ است.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...