Question

فرض کنید $A $ماتریس متقارن و معین مثبت است .نشان دهید ماتریس متقارن و معین مثبت $B$وجود دارد بطوریکه $A^3=B$

Answer 1

فکر کنم کافی است ثابت کنیم $A^3$ متقارن و مثبت معین است.(فرض می کنیم که درایه های $A$ حقیقی هستند)

چون $A$ متقارن است لذا $A^T=A$ (در اینجا $A^T$ منظور ماتریس متقارن متناظر ماتریس $A$ است) نشان می دهیم $A^3$ متقارن است: $$(A^3)^T=(AAA)^T=(A^TA^TA^T)=AAA=A^3$$

و برای مثبت معین بودن چون $A$ مثبت معین است لذا برای هر $u\in \mathbb R^n$ ضرب داخلی $u_{n\times 1}$ و $A_{n\times n}u_{n\times 1}$ مثبت است یعنی $< u, Au>=u^TAu> 0$ نشان می دهیم $A^3$ هم مثبت معین است: $$< u,A^3u>=u^TA^3u=u^TAAAu=(u^TA^T)A(Au)=(Au)^TA(Au)$$ با قرار دادن $v=Au$ بنابر فرض مثبت معین بودن $A$ داریم $< v, Av> =v^TAv> 0$ لذا $< u, A^3u>=< v,Av>>0$ و حکم ثابت است.