به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
Visanil
+3 امتیاز
496 بازدید
در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط رها

فرض کنید $A $ماتریس متقارن و معین مثبت است .نشان دهید ماتریس متقارن و معین مثبت $B$وجود دارد بطوریکه $A^3=B$

مرجع: جزوه جبرخطی

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+5 امتیاز
توسط fardina (17,622 امتیاز)

فکر کنم کافی است ثابت کنیم $A^3$ متقارن و مثبت معین است.(فرض می کنیم که درایه های $A$ حقیقی هستند)

چون $A$ متقارن است لذا $A^T=A$ (در اینجا $A^T$ منظور ماتریس متقارن متناظر ماتریس $A$ است) نشان می دهیم $A^3$ متقارن است: $$(A^3)^T=(AAA)^T=(A^TA^TA^T)=AAA=A^3$$

و برای مثبت معین بودن چون $A$ مثبت معین است لذا برای هر $u\in \mathbb R^n$ ضرب داخلی $u_{n\times 1}$ و $A_{n\times n}u_{n\times 1}$ مثبت است یعنی $< u, Au>=u^TAu> 0$ نشان می دهیم $A^3$ هم مثبت معین است: $$< u,A^3u>=u^TA^3u=u^TAAAu=(u^TA^T)A(Au)=(Au)^TA(Au)$$ با قرار دادن $v=Au$ بنابر فرض مثبت معین بودن $A$ داریم $< v, Av> =v^TAv> 0$ لذا $< u, A^3u>=< v,Av>>0$ و حکم ثابت است.

آموزش جبر در مراحل اولیه باید شامل تعمیمی تدریجی از حساب باشد؛ به بیان دیگر، در اولین مرحله، باید جبر را به عنوان حساب جهانی در محکم ترین مفهوم تلقی کرد.
...