Question

فرض کنید $A$ماتریسی $n \times n$ باشد که متقارن و معین مثبت است ثابت کنید:

$1$-زیر ماتریس های $A$ از هر مرتبه ای متقارن و مثبت است.

$2$-بزرگترین درایه $A$ از لحاظ قدر مطلق روی قطر قرار دارد.

$3$-درایه های قطری $A$ همگی مثبت هستند.

Answer 1

برای $1$ باید زیر ماتریس های اصلی را در نظر بگیریم(در غیر این صورت غلطه)

چون ماتریس متقارنه به وضوح هر زیر ماتریس اصلی هم متقارن خواهد بود فقط معین مثبت بودن را باید ثابت کنیم فرض کنید $ A_{1} $ زیر ماتریسی اصلی از $ A $ باشد که حاصل حذف سطر و ستون های $ i_{1} ,..., i_{t} $ باشد در اینصورت برای اینکه ثابت کنیم معین مثبت است نشان می دهیم به ازای هر $ x $ داریم $ xA_{1} x^{T} $ است. $ x $ را به $ x^{'} $ به صورت زیر گسترش می دهیم که صفر را به $x $ اضافه میکنیم طوری که در ستونهای $ i_{1} ,..., i_{t} $ صفرها قرار گیرند آنگاه داریم:

$xA_{1} x^{T} =x' A x' ^{T} $ و طبق فرض چون خود $A$ معین مثبت است لذا

$ x' A x' ^{T} > 0 $ است لذا حکم ثابت می شود.

برای $3$ کافیست هر بار $ x=(0,..,0, \underbrace{1}_{iام} ,0,..0) $ را در نظر بگیریم چون در این حالت داریم: $ xA x^{T} =a_{ii} > 0$