فرض کنید $A$ یک ماتریس مربعی از مرتبهٔ $n$ است که وارونپذیر است. ماتریس همانی از مرتبهٔ $n$ را با $I$ نمایش دهید. به فرض $\lambda\neq 0$ یک مقدار ویژه برای $A$ باشد. پس یک بردارِ $n$تایی مخالف بردار صفر مانند $x$ وجود دارد که $Ax=\lambda x$. پس
\begin{align}
Ax=\lambda x &\Longleftrightarrow A^{-1}(Ax)=A^{-1}(\lambda x)\\
&\Longleftrightarrow (A^{-1}A)x=\lambda(A^{-1}x)\\
&\Longleftrightarrow Ix=\lambda(A^{-1}x)\\
&\Longleftrightarrow x=\lambda(A^{-1}x)\\
&\Longleftrightarrow \frac{1}{\lambda}x=\frac{1}{\lambda}\big(\lambda(A^{-1}x)\big)\\
&\Longleftrightarrow \frac{1}{\lambda}x=(\frac{1}{\lambda}\lambda)(A^{-1}x)\\
&\Longleftrightarrow A^{-1}x=\frac{1}{\lambda}x
\end{align}
توجه کنید که از ناصفر بودن $\lambda$ برای وجود وارونش یعنی $\frac{1}{\lambda}$ استفاده شده است. خط آخر شرطِ مقدارویژهبودنِ $\frac{1}{\lambda}$ برای $A^{-1}$ است.
اینکه مقدار ویژههای یک ماتریسِ وارونپذیر ناصفر هستند یک گزارهاست که به عنوان تمرین ساده به خودتان واگذار میکنم.
