حداکثر تعداد درایههای ناصفر وارون یک ماتریس $5\times 5$ که تمامی درایههایش مثبت هستند را بیابید.

Question

فرض کنید $A$ یک ماتریس 5*5 وارون پذیر با درایه های حقیقی مثبت باشد. در این صورت $ A^{-1} $ حداکثر می تواند چند درایه صفر داشته باشد؟

1) 18

2) 17

3) 15

4) 16

Answer 1

ماتریس وارون را از چپ در خود ماتریس ضرب می کنیم حالا ضرب سطر اول ماتریس وارون در ستون دوم ماتریس رو درنظر میگیریم که باید صفر بشه. اگه 4 تا درایه سطر ماتریس وارون صفر باشه اونوقت $a.b=0$ با توجه به مثبت بودن درایه های ماتریس غیرممکنه پس حداکثر سه درایه از هر سطر ماتریس وارون میتونه صفر باشه. بنابراین گزینه 3 درسته.

Comments

@kazomano شما در اینجا اثبات می‌کنید که بیشتر از ۱۵ درایهٔ صفر نمی‌تواند داشته باشد ولی sharp بودن این کران بالا را ثابت نکردید بنابراین هنوز اثباتتان کامل نیست. برای تکمیل شدن اثباتتان که نشان دهید ۱۵ بزرگترین میزان ممکن است باید یک مثال از یک ماتریس با تمامی درایه‌های مثبت که وارونش دقیقا ۱۵ درایهٔ صفر دارد نیز بیاورید.