تعداد اعضای میدان برای وارون پذیری ماتریس $A_{1395\times 1395}$ که درایه های روی قطر اصلی صفر و بقیه اعضا برابر یک هستند.

Question

ماتریس $A$ یک ماتریس $1395 \times 1395$ است که اعضای روی قطر اصلی آن صفر و بقیه اعضا برابر یک هستند. این ماتریس روی میدان چند عضوی وارون پذیر است؟

1) 4

2) 9

3) 17

4) 41

واقعیتش صورت سوال رو متوجه نمیشن. این ماتریس یه ماتریس مشخصه و وارون پذیری چه ربطی به اعضای میدان داره؟

Answer 1

به میدان ربط دارد. احتمالا شما همیشه با میدان‌های با سرشت‌نمای (مشخصه) صفر، مانند اعداد گویا، حقیقی، مختلط و ... کار کرده‌اید. دترمینان ماتریس شما یک عدد می‌شود. اگر این عدد مضربی از سرشت‌نمای میدانی که درایه‌هایتان از آن می‌آید باشد، آنگاه صفر است. برای نمونه مگر ۲ و ۴ در میدان $\bar{\mathbb{Z}}_2$ صفر نمی‌شوند؟ در مورد ۴ و ۹ که عدد اول نیستند و توان عدد اول هستند نیز باید از نمایش برداری میدان‌تان استفاده کنید. اعضای میدان چهار عضوی به شکل ۰و ۱و ۲و ۳ نیستند بلکه به شکل ۰ و ۱ و $a$ و $a+1$ هستند.

دترمینان ماتریس شما برای یک ماتریس مربعی از مرتبهٔ $n$ برابر با $(-1)^{n-1}(n-1)$ می‌شود. دلیل آن نیز این است که سطر $n$اُم را برای $n\geq 3$ از آخر به قبل مرحله به مرحله با $-\frac{1}{n-i}$ برابر جمع سطرهای بالایی جمع کنید و جایگزین کنید. و سپس جای دو سطر یک و دو را جابجا کنید (که یک منفی در دترمینان تأثیر می‌گذارد). حاصل دترمینان یک ماتریس بالاسه‌گوشی می‌شود که درایه‌های روی قطر اصلی‌اش در سطر یک و دو ۱ و در سطر $j$اُم برابر با $-\frac{j-1}{j-2}$ است.

پس دترمینان ماتریس آمده در پرسش $1394$ بار جمع یک می‌شود. ۱۳۹۴ برابر با $2\times 17\times 41$ است پس مضرب ۲ و ۱۷ و ۴۱ است پس روی میدان ۴ عضوی (میدان ۴ عضوی دارای سرشت‌نمای ۲ می‌باشد)، ۱۷ عضوی و ۴۱ عضوی وارون‌ناپذیر است. چون ۱۳۹۴ مضرب ۳ (سرشت‌نمای میدان ۹ عضوی ۳ است) نیست روی میدان‌ ۹ عضوی که سرشت‌نمایش ۳ است، ماتریس‌مان وارون‌پذیر است. پس گزینهٔ درست واقعا گزینهٔ ب است.

Comments

@AmirHosein
متن پرسش به همین صورته و جواب سازمان سنجش گزینه 2 . سوال مربوط به ریاضی کاربردی.
البته حاصل دترمینان میشه (n-1) ضربدر منهای یک به توان (n-1).

---

@AmirHosein
یک سوال چرا 1359 نوشتید مگه 1395 نبود؟

این سوال مربوط به سوال جبرخطی آزمون و من هرچه قدر کتابای جبرخطی مختلف رو دیدم معمولا چنین مطالبی رو بیان نمیکنن و فکرکنم چند تا مرجع به زبان آلمانی از انتشارات اشپرینگر باشه که چنین مطالبی رو تو جبرخطی پوشش داده باشه. به هر حال سوالات اشتباه تابحال تو سال های مختلف برگزاری کنکورهای دانشگاه وجود داشته و این جالب نیست.

---

@kazomano ممنون بلی اکنون پرسش درست شد. اشتباه از من بود که ۹ و ۵ را جابجا دیدم. و کاملا موافق هستم که سوال نااستاندارد و نامناسبی برای کنکور است.