به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
114 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط kazomano
ویرایش شده توسط fardina

ماتریس $A$ یک ماتریس $1395 \times 1395$ است که اعضای روی قطر اصلی آن صفر و بقیه اعضا برابر یک هستند. این ماتریس روی میدان چند عضوی وارون پذیر است؟

1) 4

2) 9

3) 17

4) 41

واقعیتش صورت سوال رو متوجه نمیشن. این ماتریس یه ماتریس مشخصه و وارون پذیری چه ربطی به اعضای میدان داره؟

مرجع: دکتری 95

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط kazomano
 
بهترین پاسخ

به میدان ربط دارد. احتمالا شما همیشه با میدان‌های با سرشت‌نمای (مشخصه) صفر، مانند اعداد گویا، حقیقی، مختلط و ... کار کرده‌اید. دترمینان ماتریس شما یک عدد می‌شود. اگر این عدد مضربی از سرشت‌نمای میدانی که درایه‌هایتان از آن می‌آید باشد، آنگاه صفر است. برای نمونه مگر ۲ و ۴ در میدان $\bar{\mathbb{Z}}_2$ صفر نمی‌شوند؟ در مورد ۴ و ۹ که عدد اول نیستند و توان عدد اول هستند نیز باید از نمایش برداری میدان‌تان استفاده کنید. اعضای میدان چهار عضوی به شکل ۰و ۱و ۲و ۳ نیستند بلکه به شکل ۰ و ۱ و $a$ و $a+1$ هستند.

دترمینان ماتریس شما برای یک ماتریس مربعی از مرتبهٔ $n$ برابر با $(-1)^{n-1}(n-1)$ می‌شود. دلیل آن نیز این است که سطر $n$اُم را برای $n\geq 3$ از آخر به قبل مرحله به مرحله با $-\frac{1}{n-i}$ برابر جمع سطرهای بالایی جمع کنید و جایگزین کنید. و سپس جای دو سطر یک و دو را جابجا کنید (که یک منفی در دترمینان تأثیر می‌گذارد). حاصل دترمینان یک ماتریس بالاسه‌گوشی می‌شود که درایه‌های روی قطر اصلی‌اش در سطر یک و دو ۱ و در سطر $j$اُم برابر با $-\frac{j-1}{j-2}$ است.

پس دترمینان ماتریس آمده در پرسش $1394$ بار جمع یک می‌شود. ۱۳۹۴ برابر با $2\times 17\times 41$ است پس مضرب ۲ و ۱۷ و ۴۱ است پس روی میدان ۴ عضوی (میدان ۴ عضوی دارای سرشت‌نمای ۲ می‌باشد)، ۱۷ عضوی و ۴۱ عضوی وارون‌ناپذیر است. چون ۱۳۹۴ مضرب ۳ (سرشت‌نمای میدان ۹ عضوی ۳ است) نیست روی میدان‌ ۹ عضوی که سرشت‌نمایش ۳ است، ماتریس‌مان وارون‌پذیر است. پس گزینهٔ درست واقعا گزینهٔ ب است.

دارای دیدگاه توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano
+1
@AmirHosein
متن پرسش به همین صورته و جواب سازمان سنجش گزینه 2 . سوال مربوط به ریاضی کاربردی.
البته حاصل دترمینان میشه (n-1) ضربدر منهای یک به توان (n-1).
دارای دیدگاه توسط kazomano
+1
@AmirHosein
یک سوال چرا 1359 نوشتید مگه 1395 نبود؟

این سوال مربوط به سوال جبرخطی آزمون و من هرچه قدر کتابای جبرخطی مختلف رو دیدم معمولا چنین مطالبی رو بیان نمیکنن و فکرکنم چند تا مرجع به زبان آلمانی از انتشارات اشپرینگر باشه که چنین مطالبی رو تو جبرخطی پوشش داده باشه. به هر حال سوالات اشتباه تابحال تو سال های مختلف برگزاری کنکورهای دانشگاه وجود داشته و این جالب نیست.
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@kazomano ممنون بلی اکنون پرسش درست شد. اشتباه از من بود که ۹ و ۵ را جابجا دیدم. و کاملا موافق هستم که سوال نااستاندارد و نامناسبی برای کنکور است.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...