ارتباط بین معکوس پذیری یک ماتریس و میدانی که درایه های ماتریس از آن می آید چیست؟

Question

سلام. در یک تمرین گفته شده بود آیا ماتریس

$$\begin{bmatrix}2 & 1 & 0\\1 & 1 & 1\\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$$

در میدان $\bar{\mathbb{Z}}_3$ معکوس‌پذیر است یا نه؟

برای من پرسش شده که چه ربطی بین معکوس‌پذیری یک ماتریس و یک میدان وجود دارد؟

Answer 1

یک ماتریس در یک میدان وارون پذیر است هرگاه دترمینان آن ماتریس در آن میدان برابر عنصر $0$ میدان نشود .

اگر بخواهیم ببینیم این ماتریس در میدان $Z_{3}$ وارون پذیر است یا نه باید دترمینان آنرا بدست بیاریم و به هنگ $3$ حساب کنیم . اگر $0$ نشد پس وارون پذیر است ‌. حال دترمینان ماتریس را حساب میکنیم :

$$det(A)=2× det \begin{bmatrix}1 & 1\0 & 2\end{bmatrix} -1×det \begin{bmatrix}1 & 1\0 & 2\end{bmatrix} =2$$

حال $det(A)=2 \equiv 2( mod3)$ پس ماتریس $A$ وارون پذیر است .

توجه کنید ممکن بود دترمینان این ماتریس برابر $3$ شود که در این صورت ماتریس در میدان اعداد حقیقی و اعداد مختلط وارون پذیر است . ولی در میدان $Z_{3}$ وارون پذیر نیست زیرا $3 \equiv 0(mod3)$ . پس در میدان $Z_{3}$ دترمینان صفر است .