ثابت کنید خط d به این معادله به ازای جمیع مقادیر m از نقطه ی ثابتی که مختصات آن را تعیین خواهید کرد می گذرد:

Question

ثابت کنید خط d به معادله ی زیر به ازای جمیع مقادیر m از نقطه ی ثابتی که مختصات آن را تعیین خواهید کرد می گذرد: $$(2 m^{3}+ m^{2}-m+2)x+(-3 m^{3}+ m^{2}+m+1)y-5 m^{2}+m-4=0 $$

Answer 1

روش اول:

فرض کنید نقطه ی گفته شده در مساله $(x_0, y_0) $ باشد.

وقتی نقطه ی ثابت گفته شده را جایگذاری می کنیم رابطه به تابعی از $m$ تبدیل می شود که اگر ضرایب صفر نباشند تعداد محدودی جواب دارد. پس اگر $(x_0, y_0) $ را جایگذاری کنیم باید داشته باشیم:

ضریب $ m^{3} $ که $2x_0-3y_0 $ است باید صفر باشد یعنی:$ 2x_0=3y_0 $

ضریب $ m^{2} $ که $x_0+y_0-5 $ است باید صفر باشد یعنی:$ x_0=5-y_0 $

ضریب $ m $ که $-x_0+y_0+1$ است باید صفر باشد یعنی:$ x_0=y_0+1 $

که با حل آنها داریم: $x_0=3 $ و $y_0=2 $

تنها مشکل در بررسی اعداد آخر است که باید تساوی هم برقرار باشد یعنی $2x_0+y_0-4=0$ که با اعداد بالا تساوی برقرار نیست . احتمالا در تایپ اشتباه کردید.

روش دوم:

قرار می دهیم $m=0$ پس خط $ 2x+y-4=0 $ را داریم که از نقطه ی بالا می گذرد.

قرار می دهیم $m=-1$ پس خط $ 2x+4y-10=0 $ را داریم که از نقطه ی بالا می گذرد.

چون این دو خط در یک نقطه مشترک هستند لذا متقاطعند و نقطه تقاطع نقطه ی بالا است. نقطه تقاطع برابر است با:$(1 , 2)$

اما این نقطه در بقیه جوابها صدق نمی کند. پس سوال اشتباه است.