اگر m2−bm+13=0 و n2−bn+13=0 باشد آنگاه ثابت کنیدm3+n3 بر 6 بخش پذیر است.

Question

اگر $ m^{2}-bm+ \frac{1}{3}=0 $ و $ n^{2}-bn+ \frac{1}{3}=0 $ باشد آنگاه ثابت کنید$ m^{3}+ n^{3} $ بر 6 بخش پذیر است.

Answer 1

به این ترتیب درمعادله درجه دوم $x^2-bx+ \frac{1}{3}=0 $ به ازاء هرb نشان میدهیم مجموع مکعبات ریشه ها مضربی از6 است. $m^3+n^3=s^3-3sp=b^3-b=b(b^2-1)$

اگر $b=3t$درصورتی که t زوج باشدکه مضرب6 است درصورتی که t فرد باشد3tکه عامل3رادارد و $ b^2-1 $زوج وعامل2 را نیز دارد

یا اگر $b=3t-1$ باشد $m^3+n^3=(3t-1)(9t^2-6t)$درصورتی که t زوج باشدt=2k ؛ $9t^2-6t$عامل 6 خواهدداشت ودرصورتی که t فرد باشدt=2k+1 آنگاه$3t-1$عامل 2و$9t^2-6t$نیزعامل 3 رادارد

درحالت آخر یعنی وقتی $b=3t+1$ باشدبه طریق مشابه ثابت میشود