به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
45 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط mahdi1379

اگر $ m^{2}-bm+ \frac{1}{3}=0 $ و $ n^{2}-bn+ \frac{1}{3}=0 $ باشد آنگاه ثابت کنید$ m^{3}+ n^{3} $ بر 6 بخش پذیر است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط good4us

به این ترتیب درمعادله درجه دوم $x^2-bx+ \frac{1}{3}=0 $ به ازاء هرb نشان میدهیم مجموع مکعبات ریشه ها مضربی از6 است. $m^3+n^3=s^3-3sp=b^3-b=b(b^2-1)$

اگر $b=3t$درصورتی که t زوج باشدکه مضرب6 است درصورتی که t فرد باشد3tکه عامل3رادارد و $ b^2-1 $زوج وعامل2 را نیز دارد

یا اگر $b=3t-1$ باشد $m^3+n^3=(3t-1)(9t^2-6t)$درصورتی که t زوج باشدt=2k ؛ $9t^2-6t$عامل 6 خواهدداشت ودرصورتی که t فرد باشدt=2k+1 آنگاه$3t-1$عامل 2و$9t^2-6t$نیزعامل 3 رادارد

درحالت آخر یعنی وقتی $b=3t+1$ باشدبه طریق مشابه ثابت میشود

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...