اگر $a^{3} -a+1=0 $ باشد ثابت کنید که $\big(\frac{1}{a}\big)^5+\frac{1}{a}+1=0$.

Question

اگر داشته باشیم $a^{3} -a+1=0 $، آنگاه ثابت کنید که

$$\big(\frac{1}{a}\big)^5+\frac{1}{a}+1=0$$

تلاش خودم: دو طرف معادله حکم را در $a^5$ ضرب کردم و به معادله $a^5+a^4+1=0$ رسیدم چون $a$ صفر نیست. زیرا صفر در معادله فرض صدق نمی‌کند.

Answer 1

$(1) a^3=a-1$

درنتیجه باضرب طرفین (1) در $ a^2$

$ a^5=a^3-a^2 $ و جایگزینی $ a-1 $ داریم $ a^5=-a^2+a-1 $

و باضرب طرفین (1) در $ a$

$ a^4=a^2-a $

لذا $a^5+a^4+1=0$ چون $a \neq 0$ با تقسیم طرفین بر $ a^5$

$( \frac{1}{a} )^5+\frac{1}{a}+1=0$

Answer 2

از فرض مسئله به دو نتیجه زیر میرسیم:

$$a^3=a-1$$

$$a^3+1=a$$

از اتحاد چاق و لاغر استفاده میکنیم:

$$a=a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)$$

طرفین را به $(a+1)$ تقسیم میکنیم:

$$ \frac{a}{a+1} =a^2-a+1=(a-1)a+1\\=a^3a+1=a^4+1$$

از طرفین یک واحد کم میکنیم:

$$a^4= \frac{a}{a+1} -1= \frac{-1}{a+1} $$

طرفین را در $a$ ضرب میکنیم:

$$a^5= \frac{-a}{a+1} $$

طرفین را معکوس میکنیم:

$$ \frac{1}{a^5} = \frac{a+1}{-a} =-1- \frac{1}{a} $$

طرف دوم را با تغییر علامت به طرف اول اضافه میکنیم و مساوی $0$ قرار میدهیم:

$$( \frac{1}{a})^5 + \frac{1}{a} +1=0$$