$\lim_{n}\dfrac{\lfloor x\rfloor+\lfloor2x\rfloor+...+\lfloor nx\rfloor}{n^2}=?$

Question

حاصل حد زیر چیست

$$\lim_{n}\dfrac{\lfloor x\rfloor+\lfloor2x\rfloor+...+\lfloor nx\rfloor}{n^2}=?$$

با تشکر .

Comments

لطفا قبل از ایجاد سوال راهنمای تایپ ریاضی را ببینید.
فقط یک سوال بپرسید و آن را با جزئیات توضیح دهید.
تلاش خود را برای حل مساله بنویسید.

Answer 1

اگر $x=0$ واضح است حد برابر صفر خواهد شد.

فرض کنیم $x\neq 0$ . از نامساوی $0\leq x-\lfloor x\rfloor < 1$ داریم:

$$\begin{align}\lim_{n\to \infty}\frac{(x-1)+(2x-1)+\cdots +(nx-1)}{n^2} & \leq\lim_{n\to \infty}\frac{\lfloor x\rfloor+\lfloor 2x\rfloor +\cdots+\lfloor nx\rfloor }{n^2}\\ &\leq \lim_{n\to\infty}\frac{x+2x+\cdots +nx}{n^2} \end{align}$$

حال از فشردگی استفاده کنید جواب برابر $\frac x2$ خواهد بود.