حل مسئله دنباله حسابی و هندسی

Question

اعداد c , b , 3 تشکیل دنباله حسابی‌ ( اول c دوم b سوم 3) و اعداد c+1 , b-1 , 3 تشکیل دنباله هندسی (اول c+1 دوم b-1 سوم 3) داده اند. قدر نسبت دنباله حسابی و هندسی را به صورت جداگانه پیدا بنویسید.

راه حل کامل و با اثبات

با تشکر

Answer 1

$$c , b ,3 \ \ \ :\text{ arithmetic progression}$$

با توجه به خواص دنباله حسابی خواهیم داشت :

$$2b=c+3$$ $$c+1,b-1,3 \ \ \ :\text{geometric progression}$$

با توجه به خواص دنباله هندسی خواهیم داشت :

$$(b-1)^2=3(c+1)$$

حال ما دو معادله دو مجهول داریم به صورت زیر :

$$2b=c+3$$ $$(b-1)^2=3(2b-3+1)$$ $$b^2-2b+1=3(2b-3+1)$$ $$b^2-2b+1=6b-9+3$$ $$b^2-8b+7=0 \\ b=1 \ \ \ \text{Or} \ \ \ b=7 \\ c=-1 \ \ \ \text{Or} \ \ \ c=11$$

با جایگذاری قدر نسبت دو دنباله را بدست بیاوردید .