دنباله حسابی و هندسی

Question

دنباله ای بنویسید که هم هندسی باشد و هم حسابی؟

آیا رابطه ای کلی برای نوشتن این گونه دنباله ها وجود دارد؟

Answer 1

تنها دنباله هایی که هم حسابی اند هم هندسی دنباله های ثابتند$ (x,x,x,x....) $. مثل $....1,1,1,1,1$

Comments

باید این ادعا رو اثبات کنید.

---

دنباله حسابی با جمله اول $a$ برابر است با :$a,a+x,a+2x...a+nx$ اگر این دنباله دنباله هندسی نیز باشد جمله سوم تقسیم بر جمله دوم برابر است با جمله دوم تقسیم بر جمله اول   :

$ \frac{a+x}{a} =  \frac{a+2x}{a+x} $ در نتیجه $ \frac{a^2+2ax-a^2-x^2-2ax}{a^2+ax} =0$
پس $-x^2=0$ در نتیجه $x$ برابر 0 بوده و دنباله ثابت است .

---

البته باید این را هم درنظر داشته باشیم که دنباله ی 0,0,0,0,0,.... چون از تعریف دنباله ی هندسی که می گوید: دنباله ی هندسی دنباله ای از اعداد است که هر جمله آن ، بجز جمله اول از حاصل ضرب جمله ی قبلی در یک عدد ثابت و مخالف صفر و یک به دست می اید» ، طبعیت نمیکند، بنابراین دنباله ی هندسی نمی باشد.