فرمول پیدا کردن قدر نسبت یک دنباله هندسی

Question

در یک کتاب کار چنین فرمولی نوشته شده است:

اگر جملات $ a_{k} و a_{m} و a_{n} $ یک دنباله حسابی غیر ثابت ، 3 جمله متوالی یک دنباله هندسی باشند آنگاه:

$q= \frac{k-m}{m-n} $

آیا این فرمول اثباتی دارد و اگر دارد آن را اثبات کنید.

من برای آن مثال نقضی پیدا نکردم.

Answer 1

چون $ a_{n} و a_{m} و a_{k} $ تشکیل دنباله هندسی می دهند داریم

$\frac{ a_{m} }{ a_{n} } = \frac{ a_{k} }{ a_{m} } $ اگر دراین تناسب تفضیل نسبت در صورت انجام دهیم داریم:

$ \frac{ a_{m}- a_{n} }{ a_{n} } = \frac{ a_{k}- a_{m} }{a_{m} } $ چو ن$ a_{m} و a_{n} $ جملات دنباله حسابی هستندخواهیم داشت (فرمول تفریق دو جمله دلخواه دنباله حسابی)

$ \frac{(m-n)d}{ a_{n} } = \frac{(k-m)d}{ a_{m} } $ واز این تناسب نتیجه می گیریم$ \frac{ a_{m} }{ a_{n} } = \frac{k-m}{m-n} $چون $ a_{m} و a_{n} $ تشکیل دنباله هندسی میدهند نسبت این دوجمله q خواهد بود.پایان

Answer 2

$$a_{n}=a_{0}+pn=1a_{n}$$

$$a_{m}=a_{0}+pm=qa_{n}$$

$$a_{k}=a_{0}+pk=q^2a_{n}$$

$$q=q \frac{q-1}{q-1} = \frac{q^2-q}{q-1} $$ $$=( \frac{q^2-q}{q-1}) (\frac{a_{n}}{a_{n}}) $$ $$= \frac{q^2a_{n}-qa_{n}}{qa_{n}-1a_{n}} = \frac{a_{k}-a_{m}}{a_{m}-a_{n}} $$ $$ =\frac{a_{0}+pk-(a_{0}+pm)}{a_{0}+pm-(a_{0}+pn)} $$ $$ =\frac{k-m}{m-n} $$ $$ \Rightarrow q= \frac{k-m}{m-n} $$

Comments

دو نکته :
اول اینکه فکر میکنم شما فرمول دنباله حسابی را اشتباه نوشتید . درستش این است$ a_{n} = a_{0} +(n-1)p$
دوم اینکه چرا جمله اول دنباله هندسی را برابر 1 گرفتید؟

---

جمله عمومی یک تصاعد حسابی برابر است با
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)p$$
چون یک جمله     $a_{0}$ اضافه کردم پس تعداد یکی بیشتر شده پس
$$a_{n}=a_{0}+np$$
در مورد دوم ضریب 1 همان    $q^0$ هست
و همان طور که از تعریف و ساختار تصاعد هندسی میدونیم جمله های متوالی در تصاعد هندسی $q$ برابر تغییر میکنند
اگر قسمتی از پاسخ باز براتون گنگ بود مشخص کنید تا بیشتر توضیح بدم
یا اگر اشکالی هست بگید تا اصلاح کنم.