به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
63 بازدید
در دبیرستان توسط aaa

در یک کتاب کار چنین فرمولی نوشته شده است:

اگر جملات $ a_{k} و a_{m} و a_{n} $ یک دنباله حسابی غیر ثابت ، 3 جمله متوالی یک دنباله هندسی باشند آنگاه:

$q= \frac{k-m}{m-n} $

آیا این فرمول اثباتی دارد و اگر دارد آن را اثبات کنید.

من برای آن مثال نقضی پیدا نکردم.

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط mdardah
انتخاب شده توسط aaa
 
بهترین پاسخ

چون $ a_{n} و a_{m} و a_{k} $ تشکیل دنباله هندسی می دهند داریم

$\frac{ a_{m} }{ a_{n} } = \frac{ a_{k} }{ a_{m} } $ اگر دراین تناسب تفضیل نسبت در صورت انجام دهیم داریم:

$ \frac{ a_{m}- a_{n} }{ a_{n} } = \frac{ a_{k}- a_{m} }{a_{m} } $ چو ن$ a_{m} و a_{n} $ جملات دنباله حسابی هستندخواهیم داشت (فرمول تفریق دو جمله دلخواه دنباله حسابی)

$ \frac{(m-n)d}{ a_{n} } = \frac{(k-m)d}{ a_{m} } $ واز این تناسب نتیجه می گیریم$ \frac{ a_{m} }{ a_{n} } = \frac{k-m}{m-n} $چون $ a_{m} و a_{n} $ تشکیل دنباله هندسی میدهند نسبت این دوجمله q خواهد بود.پایان

+1 امتیاز
توسط salar

$$a_{n}=a_{0}+pn=1a_{n}$$

$$a_{m}=a_{0}+pm=qa_{n}$$

$$a_{k}=a_{0}+pk=q^2a_{n}$$

$$q=q \frac{q-1}{q-1} = \frac{q^2-q}{q-1} $$ $$=( \frac{q^2-q}{q-1}) (\frac{a_{n}}{a_{n}}) $$ $$= \frac{q^2a_{n}-qa_{n}}{qa_{n}-1a_{n}} = \frac{a_{k}-a_{m}}{a_{m}-a_{n}} $$ $$ =\frac{a_{0}+pk-(a_{0}+pm)}{a_{0}+pm-(a_{0}+pn)} $$ $$ =\frac{k-m}{m-n} $$ $$ \Rightarrow q= \frac{k-m}{m-n} $$
توسط aaa
دو نکته :
اول اینکه فکر میکنم شما فرمول دنباله حسابی را اشتباه نوشتید . درستش این است$ a_{n} = a_{0} +(n-1)p$
دوم اینکه چرا جمله اول دنباله هندسی را برابر 1 گرفتید؟
توسط salar
ویرایش شده توسط salar
+1
جمله عمومی یک تصاعد حسابی برابر است با
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)p$$
چون یک جمله     $a_{0}$ اضافه کردم پس تعداد یکی بیشتر شده پس
$$a_{n}=a_{0}+np$$
در مورد دوم ضریب 1 همان    $q^0$ هست
و همان طور که از تعریف و ساختار تصاعد هندسی میدونیم جمله های متوالی در تصاعد هندسی $q$ برابر تغییر میکنند
اگر قسمتی از پاسخ باز براتون گنگ بود مشخص کنید تا بیشتر توضیح بدم
یا اگر اشکالی هست بگید تا اصلاح کنم.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...