به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
166 بازدید
در دبیرستان توسط Aryangha

اگر در مثلثی میانه ها رسم شود 6مثلث هم مساحت تشکیل میشود!اثبات این مسئله رو اگه میشه بگید مممون

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina

اولا باید بدانید که هر میانه مثلث را به دو مثلث با مساحت های برابر تقسیم می کند چرا که قاعده ها با هم برابرند و ارتفاع دو مثلث تشکیل شده نیز یکسان خواهند بود(شکل زیر را ببینید)

midpoint

حال فرض کنید همه میانه ها به مانند شکل زیر رسم شده باشند.

areas

در اینجا واضح است که مثلث های $GBD$ و $GCD$ دارای مساحت یکسانند زیرا $GD$ میانه وارد بر $BC$ است. به همین ترتیب مثلث های $AGE$ و $BGE$ دارای مساحت یکسان و مثلث های $AGF$ و $CGF$ نیز دارای مساحت یکسانند.

از طرفی مثلث های $ABD$ و $ACD$ نیز دارای مساحت یکسانند بنابراین: $$S_{AGE}+S_{BGE}+S_{BDG}=S_{AGF}+S_{CGF}+S_{CDG}$$

با حذف $S_{BDG}=S_{CDG}$ از طرفین داریم: $$S_{AGE}+S_{BGE}=S_{AGF}+S_{CGF}$$ یعنی $$2S_{AGE}=2S_{AGF}$$ یعنی $S_{AGE}=S_{AGF}$

بنابراین $S_{AGE}=S_{BGE}=S_{AGF}=S_{CGF}$

بطور مشابه می توانید نشان دهید $S_{BGE}=S_{BDG}$ و لذا هر شش مثلث دارای مساحت یکسانند.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...