عبارت $a^{10} +a^5 + 1$ را تجزیه کنید

Question

عبارت زیر را تجزیه کنید $a^{10} +a^5 + 1$

ویرایش ادمین: متاسفانه اطلاعات بیشتری وارد نشده است. هیچ تلاشی توسط کاربر برای حل سوال نوشته نشده است.

Comments

سلام @hossain79
لطفا سوال هاتون  رو ویرایش کنید و عنوان مناسب بنویسید. همینطور تلاش خودتون برای حل مساله رو بنویسید.

Answer 1

به طور کلی هر عبارت به صورت $a^{2k} + a^{k} + 1$ اگر $k$ مضرب سه نباشد بر عبارت $a^{2} + a + 1$ بخش پذیر است. از تقسیم عبارت صورت سوال بر عبارت فوق جواب به دست میآید.

Comments

@Mahdimoro
ممنون برای ارسال پاسخ و راهنمایی خوب.
فقط در اینجا همه چی رو با دلیل ذکر کنید بهتره. مثلا گزاره ای که نوشتید رو میتونید به دلیلش حداقل به صورت کوتاه اشاره کنید.
در ضمن برای تایپ ریاضی شما فرمولها رو درست نوشتید فقط داخل دلار نگذاشتید که به ریاضی ترجمه بشه. من این کارو براتون انجام دادم.

---

بعد از تقسیم اون عبارت دیگه هم تجزیه میشه یا نه؟

---

@hossain79
شما اصلا عبارت رو بر اون چیزی که @Mahdimoro گفتن تقسیم کردید؟
اگر تقسیم کردید لطفا بنویسید.

---

ممنون که گفتین. من اولین بارم بود تایپ ریاضی توی یه سایت میکردم. درضمن برای اثبات مطلبی که گفتم باید زیاد مینوشتم و چون بار اولم بود سختم بود بنویسم. اثبات چیزی که گفتم سادست. کافیه به این توجه کنیم که برای تعیین باقیمانده ی (f(x بر (g(x کافیه ریشه ی (g(x رو در f قرار بدیم.

---

اگه g ریشه نداشت چی

---

@hossain79
عبارتی که به دست میاد قطعا قابل تجزیست دوباره. چون قضیه داریم که هر چندجمله ای را میتوان به چندجمله ای های حداکثر درجه دو تجزیه کرد. ولی منظور سوال ذکر این نکته ای بوده که من در جواب سوال گفتم و درضمن عبارتی که به دست میاد دیگه به سادگی تجزیه نمیشه.

---

@hossain79
بستگی داره . مثلا تو همین سوال g برابر a^2+ a+1 است که ریشه ندارد. حال اگر در معادله ی
a^2+a+1=0
دو طرف را در a-1 ضرب کنیم به دست می آید
a^3=1 حال کافی است در f که در این سوال همان a^2k+a^k+1 است به جای a^3 یک بگذاریم.

---

@hossain۷۹ متن درست گزاره‌ای که اشاره کردید به این شکل است «هر چندجمله‌ای با ضرایب حقیقی را روی اعداد حقیقی می‌توان به عبارات درجهٔ یک و دو تجزیه کرد». پس اگر تجزیه به عوامل با ضرایب صحیح یا گویا منظور باشد آنگاه از این گزاره نمی‌توانید نتیجه بگیرید که حتما به عوامل درجهٔ یک و دو تجزیه خواهید داشت. یا اگر تجزیه روی اعداد مختلط منظور باشد آنگاه حتما به عوامل تمامی خطی تجزیه خواهیم داشت.