اگر انتگرال تابعی صفر باشد لزوما تقریبا همه جا صفر نیست.

Question

مثال نقضی بیاورید که نشان دهد $ \int f=0 \rightarrow f=0 (a.e) $ همواره برقرار نیست؟

(در حالی که میدانیم $( (a.e) f=0 \longleftrightarrow \int_E f = 0, \forall E \in M $ همواره برقرار است.

Answer 1

فرض کنید $(X,\mathcal M ,\mu) $ یک فضای اندازه باشد. به قضایای زیر توجه کنید:

اگر $f:X\to[0,\infty] $ اندازه پذیر باشد آنگاه $$ \int f=0 \Leftrightarrow f=0\quad a.e. $$ .

همانطور که میبینید برای توابع اندازه پذیر مثبت ، $ \int f=0 $ با $ f=0\ a.e. $ هم ارز است.

اما در حالت کلی برای هر $f,g\in L^1(X) $ دلخواه گزاره های زیر هم ارز هستند:

1. $\int_E f=\int_E g $ به ازای هر $ E\in \mathcal M $
2. $ \int|f-g|=0 $
3. $ f=g\quad a.e. $

یعنی برای تابع اندازه پذیر $ f:X\to [-\infty,\infty] $ نمی توان از $ \int f=0 $ نتیجه گرفت $ f=0\quad a.e.$ چرا که $ f $ مثبت نیست. ولی از $ \int_E f=0 $ به ازای هر $ E\in \mathcal M $ می توان نتیجه گرفت $ f=0\quad a.e. $ .

به عنوان مثال نقض هم کافیه مثلا تابع $ f:[-1,1]\to \mathbb R $ را با ضابطه
$$ f(x) =\begin{cases}1 & 0\leq x\leq 1\\-1 & -1\leq x< 0 \end{cases} $$ در اینصورت
$ \int_{[-1,1]}f=0 $ در حالیکه $ f \neq 0\quad a.e. $