تابع مشخصه Q انتگرال پذیر لبگ است ولی انتگرالپذیر ریمان نیست

Question

میشه توضیح بدید که چرا تابع مشخصه Q انتگرال پذیر لبگ است ولی انتگرالپذیر ریمان نیست .

Answer 1

انتگرال لبگ تابع مشخصه $\chi_A$ چنانچه $A$ اندازه پذیر باشد به صورت $\int \chi_A=m(A)$ تعریف می شود. یعنی $\chi_A$ انتگرال پذیر لبگ است اگر و تنها اگر $A$ اندازه پذیرباشد و چون $\mathbb Q$ اندازه پذیر است لذا $\chi_{\mathbb Q}$ انتگرال پذیر لبگ است و طبق تعریف داریم $\int\chi_{\mathbb Q}=m(\mathbb Q)=0$ .

اما می توان نشان داد که $\chi_{\mathbb Q}$ انتگرال پذیر ریمان نیست.

در واقع به عنوان مثال برای نشان دادن اینکه تابع $f:[0,1]\to \mathbb R$ که به صورت $$f(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\cap [0,1]\\ 0&x\in\mathbb Q^c\cap [0,1]\end{cases}$$ تعریف می شود انتگرال پذیر ریمان نیست کافی است نشان دهید که انتگرال بالایی برابر $1$ و انتگرال پایینی برابر صفر است. در واقع برای هر افراز $P=(x_0,x_1,...,x_n)$ از $[0,1]$ داریم: $$U(p,f)=\sum_1^n\sup_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)(x_i-x_{i-1})=\sum_1^n 1(x_i-x_{i-1})=1$$ بنابراین انتگرال بالایی برابر $\inf U(p,f)=1$ است. و $$L(p,f)\sum_1^n\inf_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)(x_i-x_{i-1})=\sum_1^n 0(x_i-x_{i-1})=0$$ پس انتگرال پایین برابر $\sup L(p,f)=0$ است.

Comments

خیلی ممنون . اون قسمتی که لبگ هستو متوجه شدم اما میشه قسمتی که میگه ریمان نیست و یکم بیشتر توضیح بدین